Теория тепломассообмена Э.Р. Эккерт Р.М. Дрейк под ред. Лыкова (1013696), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Эту функцию можно найти в таблицах различных справочников [Л. 244]. В табл. 13-2 табулируется уравнение (13-12) с постоянными, взятыми из табл. 13-1. Интенсивность лучеиспускания, отнесенную ко всему спектру, чем и интересуются в большинстве случаев на практике, можно определить из закона Планка путем интегрирования: Таб лица 13-2 Интенсивность монохроматического излучения 1„л абсолютно черного тела в нормальном направлении как функция абсолютной температуры Т и длины волны Х 1Л. 3801 лг,м к 555 666 777 888 999 1 !10 1 221 ! 332 ! 443 1 554 1 665 1 776 1 887 1 998 2 109 2 220 2 331 2 442 2 553 2 664 2 775 2 997 3 108 3 219 3 330 3 441 3 552 3 663 3 774 3 885 3 996 4 107 42!8 4 329 4 440 4 551 4 662 4 773 4 884 4 995 5!06 5 217 5 328 5 439 5 550 5 661 — !о Лвлх г клав/м*.к мк ' Кк 0,01019 0,3061 3,087 !6,02 53,53 133,18 268,42 463,02 711,51 1001,05 1313,27 1631,67 !940,28 2226,74 2481,77 2701,25 2882,60 3025,83 3131,45 ЗлОЗ 58 3245,82 3249,94 3220,58 3!75,24 3115,99 3045,92 2967,61 2883,!2 2793,98 2701,76 2607,99 2513,71 3418,91 2325,66 2233,95 2143,79 2056,20 1970,68 1888,24 1808,39 1731,11 1657,43 !586,33 1517,8! 1452,38 !390,04 ЛГ., 'К 5 772 5 883 5 994 6 105 6 216 6 327 6 438 6 549 6 660 6 771 6 882 6 993 7 104 7 215 7 326 7 437 7 548 7 659 7 770 7 881 7 992 8 214 8 325 8 880 9 435 9 990 10 545 11 100 1! 655 12 210 12 765 13 320 13 875 14 430 14 985 15 540 16 095 16 650 22 200 27 750 33 300 38 850 44 400 49 950 55 500 — !о !ваЛ Гв ' клал(м*.в.мк' К !330,27 1273,08 1218,47 1166,44 11!6,98 1069,98 1024,24 980,96 940,26 901,10 863,49 827,94 793,94 762,00 730,57 701,72 673,38 646,59 624,43 597,13 573,43 530,67 509,54 422,16 351,58 294,70 248,69 211,18 181,46 154,87 133,39 1!5,82 100,83 88,15 77,54 68,52 60,49 53,77 19,16 8,429 4,265 2,376 1,421 0,9047 0,5946 О сколько раз, прежде чем он снова выйдет через отверстие.
Если поверхность полости обладает большой поглощательной способностью, то при каждом отражении большая часть энергии луча окажется поглощенной и поэтому после нескольких отражений вся |энергия луча будет поглощена стенками, Таким образом, отверстие в полом теле ведет себя подобно абсолютно черной поверхности. Уменьшая отверстие, можно воспроизвести свойства абсолютно черного тела с желаемой точностью. Если стенки полости разогреть, то согласно закону Кирхго~фа отверстие 'будет испускать излучение а~бсолютно черного тела. Последующая часть этой главы посвящена выведению законов излучения абсолютно черного тела.
Рассмотрим этот :вопрос исторически. 'В 1844 г. Больцман вывел закон четвертой степени на основе классической термодинамики. Затем в 1896 г, аналогично ~Вин вывел свой закон смещения Рис. ! 8-6. излучение поло. (18 11) Для вывода закона, опи- сывающего интенсивность монохроматического излучения, необходимо было отказаться от основ классической физички.
В 1900 г. М. Планку удалось вывести этот закон благодаря своей квантовой теории. Сначала выведем закон Стефана — Больцмана. Дпя этого предварительно необходимо установить связь между плотностью излучения иь и интенсивностью излучения уь полости с небольшим отверстием, стенки которой находятся при постоянной температуре. Пустое пространство может по нашему усмотрению иметь форму сферы, и мы подсчитаем плотность излучения в центре этой сферы (рис.
13-7). Плотность излучения в такой полости с небольшим отверстием не должна зависеть от расположения, ибо в противном случае давление 'излучения стало бы меняться с изменением положения и, следовательно, оказалось бы возможным получать механическую работу при помощи устройства, подвергаемого давлению излучения в различных положениях.
Это противоречило бы второму закону термодинамики. Рассмотрим излучение элемента ЫА, сферической поверхности, проходящее через элемент площади ЫА, распо- 448 ложенный в центре сферы. Это излучение, проходя через площадь дА за время ~4т, может быть выражено так: дА НА ~ь г' где 1 „ — интенсивность излучения замкнутого объема в нормальном направлении. Так как излучение распространяется со скоростью света с, то излучение, проходящее через площадь ЙА за промежуток времени д~, займет за площадкой дА объем длиной Ж,определяемой уравнением Введя это выражение в написанное выше, получим следующее выражение для излучения элемента ИА,, содержащегося в объеме Л~=ЫАН.: ЫА, и ГНА, ьп с 1 ~2 дА,/г' есть ни что иное, как телесный угол, под которым площадь дА, видна из центра сферы.
Поэтому интеграл ~4А,/г* должен быть равен 4я. Общее излучение, содержащееся в единице объема, т. е. плотность излучения, равно: 4и. 4 пь 1ь аь (13-15) где иь является функцией только температуры. Теперь можно перейти к выводу закона Стефана— Больцмана. Для этого рассмотрим пространство с одинаковой температурой, имеющее форму цилиндра, закрытого 99-ЗОВ 449 Общее количество излучения, содержащегося в объеме дР, будет найдено после подсчета количества излучения всей поверхности полости. Это достигается интегрированием вышеупомянутого выражения по сферической поверхности: поршнем (рис. 13-8), причем предполагается, что его поверхность является идеальным зеркалом ()с=1), Можно допустить, что пространство является абсолютным вакуумом, а температура его поверхностей поддерживается равной Т.
Поверхности будут излучать тепло, и плотность излуче- Рис. !3-3. тепловой двигатель, приводимый в движение давлением излучения. Рис. 1Злд Излучение в замкнутой поверхности с одинаковой температурой. ния внутри цилиндра будет равна из. Эта плотность является функцией температуры стенок цилиндра. Излучение будет оказывать давление р„=из/3 (см. формулу (13-5)) на стенку поршня. Теперь представим себе, что цилиндр совершает следующий цикл. Поршень сдвигается вправо так, что объем цилиндРа изменЯетсЯ от Г~ до 1гз. ПРи этом темпеРатУРа сохраняется постоянной.
Это значит, что плотность излучения постоянна. Но так как объем увеличивается, общее количество энергии, находящейся внутри цилиндра, будет в течение этого периода увеличиваться и должно пополняться до~бавлением тепла Я от окружающей среды к стенкам цилиндра. Давление излучения также остается постоянным в течение этого периода, и величина произведенной при этом работы будет равна: (Р гз (17 т ) "ь (1г Внутренняя энергия, находящаяся в объеме возрастет на величину цилиндра, ~с'ь = пь (1 -" — ггг) 450 Согласно первому закону термодинамики количество тепла, добавляемого во время этого процесса, должно быть д —. х 1)ь + Ч~ = 4/3 иь 1'т', — $',). После того как объем достигнет величины Рм цилиндр еше продвинется на бесконечно малую величину НГ, но теперь уже без добавления тепла.
Соответственно интенсивность излучения внутри цилиндра будет уменьшаться, а температура и давление излучения будут падать. Это видно из нижней половины диаграммы, По достижении температуры Т вЂ” ЙТ движение цилиндра начинается в обратном направлении. Цилиндр движется влево, сначала таким образом, что температура остается постоянной, а затем меняется адибатически до тех пор, пока не будет достигнуто первоначальное положечие. Вся работа, проделанная над цилиндром в течение этого цикла, выражается следующим образом: — ~) — 3 Рассматриваемый нами процесс является обратимым, если он происходит достаточно медленно, так что добавление и возврат тепла происходят без падения температуры. Этот цикл совершается между двумя значениями температуры: Т и Т вЂ” гтТ.
Согласно второму закону термодинамики все обратимые циклы, совершающиеся между двумя постоянными температурными уровнями, имеют один и тот же тепловой к. п. д. ИТ1Т), а именно к. п. д. цикла Карно, Соответственно тепловой к. п д. рассматриваемого здесь процесса есть ат т ниь т а 4и„ ' отсюда =4 т и, т (13-!б) 4Я Это дифференциальное уравнение можно проинтегрироватьс 1п и, = 4 1п Т + 1п С, нли и =СТ'. 29* Если учесть уравнение (13-15) для излучения абсолютно черного тела, то из последней формулы можно получить закон излучения Стефана — Больцмана.
Подобным образом был выведен и закон Вина. К концу Х1Х в. было много попыток также предсказать теоретически монохроматическую излучательную способность. Но все они были ~неудачны в том смысле, что подсчеты приводили к выводам, не соответствующим экспериментальным данным Тем не менее следует дать описание одной попытки, поскольку она приближает к пути, избранному Планком для вы~вода его закона. Эта попытка ~была сделана Релеем и Джинсом в 1900 г.
Она базируется на представлении, что в объеме с постоян~ной температурой, в котором имеет место черное излучение, распространяются волны с различными длинами. Этог 'объем находится в состоянии равновесия с окружающими стенками благодаря непрерывному излучению и поглощению ~энергии молекулами, из которых состоит вещество стенок. Простейшим устройством, при помощи которого можно создать электромагнитные волны определенной длины, являются два атома, имеющие положительный и отрицательный электрические заряды, связанные упругими силами так, что они могут совершать колебания. Такой гармоннчеокий осциллятор сможет испускать и .поглощать излучение.
Для того чтобы имело место излучение вбсолютно черного тела, нужно вдоль стенки, ограничивающей объем, поместить ~большое количество таких осцилляторов с различными частотами. Согласно закону равного распределения энергии„который был получен в статистической механике, следует ожидать, что осцилляторы для каждой длины~ волны имеют в среднем при определенной температуре одинаковое количество энергии, а именно йТ12 на каждую степень свободы, Осциллятор обладает 'как кинетической, так и потенциальной энергией, поэтому его энергия может быть выражена как Е=ИТ, где к — постоя~иная Больцмана.
Если бы к тому же было известно количество осцилляторов для каждой длины волны, было бы возможно определить энергию, содержащуюся в устройстве осцилляторов, и это количество, опять таки соглаоно закону равного распределения, должно быть равным энергии излучения абсолютно черного тела, которое находится в соспоянин равновесия с этими осцилляторами, 452 ~В 1900 г. Репей и Джинс подсчитали число Ю волн в и~нтервале частот между м и т+с1т, которые содержатся в определенном объеме Г, исходя из представления, что волны должны ~быть стоячими с целым числом длин волн в пределах границ объема. Их уравнение имеет вид'.
дЕ = —, 'р'сЬ. С' Плотность излучения и ьЬ поля радиации в объеме 1У можно получить путем умножения средней энергии некоторого характерного осциллятора, которая соответствует средней энергии волн, на количество таких волн. В результате получим: с' В экспериментальной физике энергия выражается чаще как функция длины волны, а не частоты. Длина волны и частота связаны соотношением аХ=с, где с — скорость света. Поэтому количество энергии можно выразить таким образом: и„~й=и оЬ, если дифференциал частоты выражается как Н~ = —,д1. Подставляя эти выражения в вышеуказанное уравнение и деля на объем н', получаем для интенсивности монохрономического излучения: Это соотношение и выражает закон Релея — Джинса для монохроматического черного излучения.
Согласно этому закону излучение увеличивается неограниченно, когда длина волны стремится к нулю, что противоречит экспериментам. Однако было обнаружено, что для больших длин волн оно вполне правильно описывает действительное излучение черного тела. Исходя из этого, Макс Планк выдвигает свою смелую идею, что молекулы мс."ут обмениваться энергией не в произвольном количестве, а'только в количестве,,кратном определенной порции ~энергии в.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
