Сборник задач и вопросов по ТТИиП Кузнецов Н.Д. Чистяков В.С. (1013662), страница 18
Текст из файла (страница 18)
е. вероятность того, что измеренное значение не будет отличатьсяот действительного более чем на 0,15 МПа, составляет 93,9%.Рассмотренная задача показывает, целесообразность устранения систематической погрешности.01.19. По условию погрешность изм«рения температуры распределена по нормальному закону с параметрами Хо=—6°С и а = 8 ° С . Заданный интервал—10<Д< + 10. Для определения вероятности используем нормальную функцию распределения/10 — 6 \Вер ( - 10 < Д < + 10) = Ф* I —1——Ф « [ ~Ю~ 6 У = 0,9772 —0,3085 = 0,6687, или 66,87%.Такая вероятность может оказаться недостаточной. Для ее повышения необходимо устранить смещение стрелки, после чего вероятностьбудет' В е р ( - 1 0 < Д < + Ю) = Ф* Г - у — ) —— ф* ( ~10~~°\1^., мв"t'*iД., мВ"|h123450,160,080,040,020,010,10,110,090,10,110,6251,3752,255,011,0678^100,010,020,040,080,160,090,1050,0950,0850,1159,05,252,3751,06250,71881;/0,15 — 0,12 \Вер(-0,15<Д< + 0,15) = Ф*^0.1.1= 0 , 8 9 4 4 — 0,1056 = 0,7888, или 78,88%.01.20.
Не соответствует. На первый взгляд, по табл. 1.1 может показаться, что статистический ряд действительно выравнивается законом равномерной плотности, поскольку число значений во всех интервалах примерно одинаково. Однако при построении гистограмм следует учитывать не только число значений в каждом интервале, но и ши-рину их, а в предложенной задаче ширина различная. Для построениягистограммы по оси абсцисс откладываются интервалы и на каждоминтервале как на основании строится прямоугольник. Площадь каждого прямоугольника равна частоте pi данного интервала (частота pi равна отношению количества значений в интервале nj к общему числузначений п в выборке pi = tiiln).
Следовательно, для построения гистограммы нужно частоту р; каждого интервала разделить на его ширинуЛ,- и полученное числе взять в качестве высоты прямоугольника /,-.В табл. Ol.l приведены значения высот. Общее число наблюдений л ==200.Вид гистограммы (рис. 01.1)показывает, что предложенное экспериментальное распределение неможет описываться законом равномерной плотности.01.21.
Задача выравниваниязаключается в том, чтобы подобрать теоретическую кривую распределения, наилучшим образомописывающую экспериментальноестатистическое распределение. Например, метод моментов заключается в подборе нескольких важнейших числовых характеристик(моментов) теоретического распределения, равных соответствующим моментам экспериментального распределения. Если для выравнивания используется нормальный закон, тотакими числовыми характеристиками являются математическое ожидание х0 и дисперсия D, которые должны быть равны соответствующимстатистическим характеристикам х и D. При большом числе измерениисреднее значение можно вычислить по приближенной формуле [41 Х= ^ Xi Pi >/=1где k — число разрядов (в нашем случае /г= 18); р,- —частота г'-ro разряда, представляющая отношение, числа измерений щ в данном интервале к общему числу измерений п (в нашем случае «=844); xt — представитель 1-го разряда (обычно принимается значение, соответствующее'после чего определяются значения плотности распределения х, на границах интерваловсередине интервала).
Для нашего случая получаем х=5,01 мА.. 'Все результаты вычислений сведены в табл. 01.2 и 01.3.Статистическую дисперсию D вычисляем по формулеТаблица501.2x= Е ( i— xf Pii=\X'ГМАPlll'l'MAP!ii2После вычисления получаем 55 = 0,0001016 (мА) .Таким образом, параметры нормального закона будут4,983—4,9864,986—4,9894,989—4,9924,992—4,9954,995—4,9984,998—5,0015,001—5,0045,004—5,0075,007—5,010х0 = 5,01 мА и ^ > = V D = 0,01008 мА,~ауравнениепримет виднормального законаf (х) =— ехр х0,01008]/2лГfe—5,01)а'L 2-0,01008 2 J 'Гистограмма и выравнивающая ее кривая распределенияпредставлены на рис/ 01.2, Припостроении гистограммы следуетиметь в виду, что составляющие еепрямоугольники имеют основаниеминтервал А,-, а площадь их равначастоте разряда ри т.
е. высота1-го прямоугольника U = pi/Ai. Теоретическую кривую распределенияудобно строить путем вычислениязначений на границах интервалов.Определяются значения аргумента Xi, для границ интерваловxt — х0Xi— 5,01Xi=~a1)ДН008~ 'По таблицам [4] определяются значения функции для соответствующих значений х.f! ')*У 2лГ -till"LlJ0,00590,00950,01900,03200,04740,06990,09120,10900,11611,973,176,3310,6715,8023,3030,4036,3338,705,010—5,0135,013—5,0165,016—5,0195,019—5,0225,022—5,0255,025—5,0285,028—5,0315,031—5,0345,034—5,037\чX\р (д.
>».—2,68—2,38—2,08—1,79—1,49—1,19—0,89—0,596—0,29800,01100,02350,04590,08040,13150,19650,26850,33400,38160,398939,0735,5331,6021,7016,6019,87[5,933,931,97ТаблицаГ (*•)1_,хXа4,9834,9864,9894,9924,9954,9985,0015,0045,007• 5,0100,11850,10660,09480,06510,04980,02960,01780,01180,00591,092,334,557,9813,05. 19,526,733,237,939,6р (X)•5,0135,0165,0195,0225,0255,0285,0315,0345,0370,2980,5960,891,191,491,792,082,382,68OL3р (x\)L_а0,38160,33400,26850,19650,13150,08040,04590,02350,011037,933,226,719,513,057,984,552,331,09•Из рис. 01.2 видно, что теоретическая кривая распределения сохраняет в основном особенности статистического распределения.
Количественная оценка соответствия теоретического распределения экспериментальному производится с помощью специальных критериев согласия.01.22. Как указывалось выше, правила проверки согласия опытного распределения с теоретическим регламентированы [61. При использовании критерия Колмогорова задача решается следующим образом. 'ТаблицаX.г4,9834,9864,9894,9924,9954,9985,0015,0045,0075,010Fn (xt)Fix.)iX.0,00370,00280,00350,00230,00170,00320,00300,00070,00120,00005,0135,0165,0195,0225,0255,0285,0315,0345,037K0,003700,0058 • 0,00870,01540,01890,03440,03670,06640,06810,11380,11700,18370,18670,27490,27560,38390,38270,50000,5000гFn(*,)0,61860,72510,81990,88500,93480,96440,98220,99400,9999F(xt)0,61710,72440,81330,88300,93190,96330,98120,99130,996301.4Математическое ожидание и дисперсия подсчитываются по формуламKi0,00140,00070,00630,00200,00290,00110,00100,00270,0036При выравнивании следует выбрать а и fi таким образом, чтобы хаи D были равны статистическому среднему х и статистической дисперс и и ^ В нашем случае20х= 220~£ = 2Функцию Fn(xi) на границе интервала определяют как накопленнуюсумму частот всех интервалов, стоящих на гистограмме левее этойграницы:i1Значения Fn(Xi) на границах интервалов приведены в табл.
01.4.Значения теоретической функции распределения F(x) определяютсяс помощью нормальной функции распределенияF (X.) = <I ,*|^-Z^LJ.Пользуясь значениями х" (см. 01.21), определяют F(xt) и Кл~= \Fn(Xi)—F(xt)\ на границах интервалов. Все эти значения приведены в табл. 01.4. Максимальный /(=0,0063, откудаX = К. У~п = 0,0063 Уш= 0,183.Величина А=0,183 вписывается в любые границы для доверительной вероятности, большей 0,01. Поэтому согласие опытного и теоретического распределения считается хорошим. При использовании таблиц[61 следует помнить, что чем меньше Л,*, при которой выполняется неравенство А<А*, тем лучше совпадение теоретического и опытного распределения.01.23.
Закон равномерной плотности определяется выражением [4jf(с при а < х < р ;(0 при)е < а или х > р,гдес=р~Г7чЧ Pi = 0,00500;~V>!1*1—*)" Рг = 0,09957.Следовательно, —L-tL^Q.QOS;-—=0,09957,212откуда а=—0,5415 и (5=0,5515.Таким\образом, f(x) =_ п 915=\7р— а1,093''На.
рис. \>1.3 представлены гистограмма и выравнивающий ее закон равномерной плотности f(x). Для проверки соответствия опытногораспределения теоретическому испрль'зуем критерий %2. Для этоговычисляем значение критерия %2[формула (1.8)]. Для закона равномерной плотности при одинаковых интервалах вероятность попадания Pi будет одинакова длявсех интервалов:xi+i~xiПО; =Vl—.0.05П— 'wXp— a1,093Х315 = 14,41;, ^(12-14,41)»(13-14,41)'(14-14,41)а+ 2+ 27*^314,4114,4114,41,,+(15-14,41)2_ (16-14,41)2(17_-14ДП_ 2т14,41'14,41^14,41^^,(18-14,41)»(19-14,41)^4 8 ,_14,4114,41Определим число степеней свободы s.
Оно определяется как число интервалов минус число наложенных связей. В нашем случае числоналоженных связей равно трем.роятности 0,95 половина ширины доверительного интервала е = 2 о == 16°С. Следовательно, границы доверительного интервала /o,es==t(xo—е); (*0 + е)1=(1056; 1088) °С.(,'ОГ.2БТ>Доверительной вероятности 0,997 при нормальном законеПервая — сумма частот равна единице:*вторая — теоретическое и статистическое ' (экспериментальное) среднеезначения должны быть равны:2Jxi Pi =хо''«=1третья — теоретическаяравны:истатистическаядисперсиядолжныбытьраспределения погрешности соответствует ширина интервала (—30-f-н+За). Отсюда легко определить/0 = — ( 1 7 , 2 7 —16,73) = 0 , 0 9 мВ.У6 х(^б1.27/5яя оценки погрешности при небольшом числе измеренийможно воспользоваться распределением Стьюдента.Для рассматриваемого примера•° = 2 \xi~x) Pi-"i=lСледовательно, в нашем случае число степеней свободы s=20——3=17.Вычисляем (%*)2 = 0,51-17 = 8,67.
Так как %2<(Х*)5> то гипотезао согласовании теоретического и экспериментального распределений считается правдоподобной.' 01.24;чПроведем оценку наиболее вероятного «значения измеряемойвеличины и дисперсии [формулы (1.3) и (1.6)]:098,6 + 97,8 + 98,1 + 97,8 + 98,4 + 98,3 + 97,9 + 98,0 +12+ 98,1 + 9 8 , 2 , + 98,3 + 98,3*'->~а:2;22;•= 98,ТО2х0 = — V, ч = 3l >684 мВ;.{ -^"°t=iпS = - ^ ' V ( ^ - ^ o ) ? = 0,01146 (мВ)».i=\По табл. П.2 для р = 0 , 9 9 и (га—1)=7 определяем ^ = 3 , 5 . Таким образом, полуширина интервала [формула (1.7)1С;20,45 + 0,35 + 0,05 + 0,35 + 0,25 + 0,15 + 6,25 а + 0,15 3 +~~11"2232+ 0 , 0 5 + 0 , 0 5 +1 0 , 1 5 ;+] 0 ,:1 5„ „->- г —^—- —-= 0,061 (°С)2.Определим среднюю квадратическую погрешность единичного результата измеренияа = V 5 = 0,2-17 °С.Очевидно, что определяющей является систематическая погрешностьДс = 100 — 9 8 , 1 5 = 1,85 °С,По-видимому, отклонение температуры кипения от 100 "С вызваноотклонением барометрического давления от 760 мм рт.
ст. Случайнаясоставляющая погрешности на порядок меньше систематической..01.25.) Среднее квадратическбе отклонение 0 = у D~8°C.Для веДействительная температура с вероятностью 0,99 находится в интервале 757,3 °С</<763,9°С.Оценку доверительного интервала можно производить также по[51, результат будет аналогичным.^OL28^ По своей природе погрешность за счет неполноты излученияявляется систематической, однако значения ее изменяются случайнымобразом, в связи с этим численная оценка должна производиться статистическими методами.
Поскольку число измерений небольшое, тообработку результатов следует производить по формулам распределенияСтьюдента. Наиболее вероятное значение температуры слитка х0 ==972,4 °С.Дисперсия D ^ 633,8 (°С)\ коэффициент /„=2,13, полуширина доверительного интервала е Р =23,98°С. Следовательно, для р=0,9 доверительный интервал 948,42 °С<^<996,38 С С.Как видно, ширина доверительного интервала достаточно велика,а для ее уменьшения необходимо увеличить число измерений.Ю1.2!|. Ход решения аналогичен ходу решения 01.28:х0 = 973,2 °С; 5 = 373,33 (°С)2;tp = 1,833;ер = 11,2°С.Следовательно, при р—0,9 доверительный интервал 962°С<^-с<984,4 °С.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
