Основы теплопередачи Михеев М.А, Михеева И.М. (1013622), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Теплопередача через стержень конечной длины. Из уравнения (10-28) имеем: (сИИх) =( — д те — м ) = — д пг (ж) Подставляя это значение в уравнение (е), окончательно находим: Я = Цтд = д 1/ ЯДУ. (10-30) б) Стержень конечной длины. Для стержня конечной длины (рис. 10-8) дифференциальное уравнение (10-26) сохраняет силу, но граничные условия изменяются; при х = 0 0=дои 00 Сг+ Сз. (з) При х = 1 количество теплоты Я"', подведенное по стержню к торцу путем теплопроводности, отдается в окружающую среду путем теплоотдачи, т. е.
— Ц (с(ОЯх), н = се,16м (и) где из — значение коэффициента теплоотдачи на торце стержня. 302 Из уравнения (10-27) имеем: ФЕ=Сде"'+Сае "' (к) («Ю/Их), Е= С!яде ' — Сдепе (л) Подставляя значения (к) и (л) в уравнение (и), получаем: С!те"! Солта ""= "' (Сде"'!+С,е т!) Л (м) () (! + сс,/тЛ) ет (о) ет! + е — ес! ( о (еос! е — т!) После подстановки значений (н) и (о) в уравнение (10-27) окончательно получим: 0=0о (! — ссс/тЛ) е е тд+ (1+ а,/тЛ)е мхе~! т! ° -т! «сс ! т! -т!) тЛ (10-31) Температура на конце стержня может быть найдена нз уравнения (10-31), если положить х = Ео: 0! — — Эо — 0о (10-32) еосе + е-о«Е+ с (ет! е-т!) с)д тЕ+ с е)с тЕ тЛ тЛ или а, сь Кд + Кс с)д Кд где ч/ ад(/ ас 1 а,1 ! сс,1 Кд=ид(=1ч1 — и К,= — '= — — *= — — '.
Л/ тЛ тЕ Л К, Л о Напомпим, что ем* — е тх а)с сах = — = !)д тх; — сь — (етх — е тх) = еЬ тх; 2 2 — (е""'+ е ""') =. с)с спх! етое ""' = !. Решая совместно уравнения (з) и (м), определяем неизвестные С,иС,: С =0 (! — а,/тЛ) е-"! (н) и!. !. ас«т! — !) тЛ (п) Подставляя сюда значения С, и С, иэ уравнений (н) и (о), получаем: (10-33) Нетрудно убедиться, что уравнения (10-28) и (10-30) являются частным случаем уравнений (10-31) и (10-33).
В тех случаях, когда теплоотдачей с торца стержня можно пренебречь (Я'е = 0), уравнения (10-31) — (10-33) упрощаются. Согласно условию из уравнений (и) и (л) имеем: Я„, = 0 = (~ЮЯх),, = С,е ' — Сее (р) Решая уравнение (р) совместно с уравнением (з), находим: — оа1 С,=бе е"'~+ е еле С =д о= о е +е (с) (т) После подстановки этих значений уравнение температурной кривой (10-27) принимает вид: 0=0 ~ '" "+ "'" ") =д с (х ) . (10-34) т! < са т1 е При х = 1 сп и (х — 1) = 1, следовательно, ао О,= спео1' (10-35) Количество переданной теплоты в этом случае согласно уравнению (и) равно: е~ — е 11= Хт1'д,, ', = Хт~бо 1Ь'т1 = — Оо (й п11.
(10-36) Первым слагаемым знаменателя в уравнении (10-32) учитывается охлаждение боковой поверхности стержня, вторым — торцевой. Количество теплоты, переданное через стержень в окружающую среду, равно количеству теплоты, прошедшему через основание стержня, при х = О. Из уравнения (10-27) имеем: Легко убедиться, что уравнения (10-34) — (10-36) непосредственно получаются иа уравнений (10-31) — (10-33), если положить в них сс, = О. г, Пример!0-2.
В компрессорной установке температура воздуха в резервуаре измеряется ртутным термометром, который помещается в железную Рис. 10-9. К расчету погрешности показания термо- метра. Пример 1О-1. От трения в подшипнике выделяется такое количество теплоты, что на конце вала диаметром 4( = 60 мм устанавливается температура выше температуры окружающего воздуха на 60'С. Как распределяется температура вдоль вала и каное количество теплоты передается через вал, если коэффициент теплоотдачи аг = 6 Вт/(мз.'С) и коэффициент чеплопроводностн материала вала Х = 50 Вт!(м 'С) и вал рассматривать как стержень бесконечной длины.
Согласно уравнению (10-28) 8 = аее™ , где ш = )' ~у(д!. Вычислим сначала значение т, которое для круглого стержня равно 4 "~М ° " "В К =* = зг г чж'О 06) 24 2* ~М*. Следовательно, изменение избыточной температуры по валу определяется следующим уравнением: Ь = — К84 х = 60 е ' 4". Результаты расчетов по этой формуле приводятся ниже: к, м .. . . . . . 0,01 0,05 О,!О 0,2 0,5 Э,"С . .. . . .. 58 5 52,2 43,5 35 11,8 Количество передаваемой теплоты определяется согласно уравнению (10-30): 0 =)г!та~ = 50 ' ' 2,84 60= 24 Вт. 3,14 (0,06)э 4 ГДЕ !ж — ИСтИННаЯ тЕМПЕРатУРа СжатОГО ВОЗДУХа; !4 — тЕМПЕРатУРа На КОНЦЕ гильзы, показываемая термометром н равная 100'С; !е — температура гильзы у основания, равная 50 С.
Из уравнения (а) имеем; Ось ! — ! гж = сЬ т! — 1 Вычислим значение гл(: так как У = по' и ! = я 4(6, то (б) „„.г, .г ч Г444 . ° / 25 .0,14 = 3,14. Хб 50 0,001 трубку'(гильзу), заполненную маслом (рис. 10-9). Термометр показывает температуру конца гильзы, которая ниже температуры воздуха !э, вследствие отвода теплоты по трубке. Как велика ошибка измерения, если показание термометра !4 = 100'С, температура у основания гильзы ! = 50'С, длина трубки ! = 140 мм, толщина ее стенки 6 = 1 мм, коэффициент теплопроводности Х = 50 Вт/(м 'С) и коэффициент теплоотдачи от сжатого воздуха к трубке аг = 25 Вт!(мз 'С). Для решения воспользуемся формулой (10-35).
В применении к рассматриваемому случаю эта формула принимает вид: гж !о гж (а) сй ш! Согласно табл. П.!3 сь (3,14) = 11,6. Подставив эти значения в уравнение (б), получим: 100 11,6 — 50 104 6'С 11,6 — 1 Следовательно, ошибка измерения 31 равна; АГ=Гж 0=1046 100=46С. Погрешность недопустимо велика. Для снижения ошибки при измерении температуры при помощи термометров, помещаемых в металлические гильзы, согласно уравнению (б) необходимо: а) гильзу делать из материала с возможно меньшим коэффициентом теплопроводности; б) длину ее брать возможно больше, а толщину 6 — меньше; в) интенсифицировать теплообмен между трубкой (гильзой) и средой (например, путем оребрения гильзы с внешней стороны); г) уменыпить падение температуры вдоль трубки (путем наложения тепловой изоляции на прилегающие части резервуара).
10-4. ПЕРЕДАЧА ТЕПЛОТЫ ЧЕРЕЗ РЕЕРА Оребрение поверхности нагрева производится с целью интенсификации теплопередачи. Если оребрение задано и значение коэффициента теплоотдачи для.оребренной поверхности известно, то расчет теплопередачи через ребристую стенку никаких затруднений не составляет (см. 3 6-5). Другое дело, когда требуется рассчитать само оребрение, т. е. определить наиболее рациональную форму и размеры ребра. При этом в задачу расчета входит распределение температуры по ребру, количество снимаемой теплоты, гидравлическое сопротивление, масса и стоимость оребренной поверхности нагрева.
Кроме того, в зависимости от назначения ребристых поверхностей к ним обычно предъявляется ряд дополнительных требований. В одних случаях требуется, чтобы габариты теплообменника были минимальными, в других, чтобы минимальной была масса, в третьих, чтобы использование материала было наиболее эффективным и т. д. В полном объеме такая задача может быть решена только на основе эксперимента и то лишь в том случае, если заданы конкретные условия работы поверхности нагрева и предъявляемые к ней требования.
Вместе с этим имеются и математические решения задачи. Правда, эти решения очень сложны, и возможны они лишь при целом ряде упрощающих предпосылок. Но несмотря на это, они ценны и с успехом могут быть использованы, хотя бы в предварительных расчетах, тем более, что при решении технических задач методика расчета может быть значительно упрощена.
1. Прямое ребро постоянной толщины. Пусть имеется прямое ребро, толщина которого б, высота й и длина 1 (рис. 10-10). Коэффициент теплопроводности материала Х. Температуру окружающей среды условно примем равной нулю. Температура ребра изменяется лишь по высоте, т. е. д = Г (х), в основании и на конце ребра температуры соответственно дэ и бз. Для боковой поверхности ребра коэффициент теплоотдачи а„ а для торцевой сс,. 306 Решение этой задачи тождественно решению предыдущей.
Формулы, выведенные ранее для стержня конечной длины, справедливы и для прямого ребра постоянной толщины. В соответствии с принятыми здесь обозначениями уравнения (10-32) и (10-33) принимают вид: 1 ба=6, сь тИ+ — а аЬ тл тЛ вЂ” — "а+1Итз Я = Ллг/б, !+ — 'ш ти тЛ (10-38) х! Ь Рис. !0-10. Прямое ребро постоянного сечения.
Рис. 10-11. Прямое ребро трапециевидного сечения. Здесь лч = ф"2сс,/Лб, ибо для плоских ребер / = 81; (/ ж 21 и (/// = 2/6. Если теплоотдачей с торца пренебречь, то получим: ! ба=0, сь тИ (10-39) Я=А 16 1Ь /г. (10-40) В практических расчетах вместо точных формул (10-37) и (10-38) можно пользоваться упрощенными — (10-39) и (10-40). Теплоотдача с торца при этом довольно точно учитывается путем условного увеличения высоты ребер на половину их толщины; поверхность торца как бы развертывается на боковые грани ребра. 2.
Прямое ребро переменной толщины. Решая задачу о наивыгоднейшей форме ребра, Э. Шмидт пришел к выводу, что наиболее выгодным является ребро, ограниченное двумя параболами. Стремясь по возможности приблизиться к такой форме ребра, очень часто ребра изготовляют не постоянного сечения, а с утонением от основания к торцу, придавая им трапециевидное или треугольное сечение. Пусть имеется ребро трапециевидного сечения. Условия работы те же, что и в предыдущем случае; размеры и обозначения приведены на рис. 10-11, За начало координат целесообразно принять вершину треугольника. В этом случае направление теплового потока противоположно направлению оси абсцисс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
