В. П. Исаченко, В.А. Осипова, А. С. Сукомел - Теплопередача (1013600), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Кроме того, поные безраэмсрные переменные отражают влияние не только отдельных факторов, но н нх совокупностщ что позволяет легче определить физические связи в исследуемом процессе. Теория подобия устанавливает также условия, при которых результаты лабораторных исследований можно распространнть на другие явления, подобные рассматрнваемоыу. Ввиду этого теория подобия прежде всего является теоретической базой эксперимента, но яе только.
Теория подобия является важным подспорьем теоретических исследований. Хоти методами теории подобия внд искомой функции не может быть опреде- 149 лен, зта теория облегчает в ряде случаев анализ процесса и описание полученных результатов. Теорня полобня развивалась в основном благодаря трудам советских ученых. В области теории полобня хороню известны работы А.
А. 1 ухиаиа, М. В. Кирпичева, М. А. Махеева, Л. С. Вйгенсона, П. К. Конакова, Б. С. Петухова и др.(Л. 33, 34, бй, 70, 71, 143, 207). Для практического использования выволов теории подобия необха. димо уыеть приводить к безразмерному виду математические описания изучаемых процессов. Имеется несколько методов выполнения втой операциее. Мы воспользуемся одним нз вих — методом масштабных преобразоваинй.
я-х. пзиВедение мАтемАтичеснОЙ ООРмвниРОВХН кРАеВОЙ злдАчи Н ЗАПИСИ В ВИЗРАЗМЕРНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ Пусть поверхность твердого гела омывается носжилеаемой жилкостью, температура и скорость которой влалн от тела постоянны и равны соответственно 1о и шо. Размер тела Д залая. Температура поверхности Я т,\о тела равна 1,. Для определенности примем, что 1»1а Будем полагать, что физические парамет- Р ры жнлкостн постоянны (учтем только подъемную силу, возннкающуеа в результате зависимостн плотности от температуры).
Тенлота трения не учитывается. Рассматриваемый процесс являшо ется стационзрньве. о Расположим асн координат так, как показано на рнс. 5-1, Для простоты примеое, что ось Оу нормальна к поверхности тела, а ось Ох пает' ! правлвна вдоль тела и вертикальна. о Прв этом 3 =я, а проекции вектора сал тяжести (нлн подъемной силы) на оси Оу и Ог будут равны нулю (до=3,=й). —,г-', Размер тела вдоль осн Оя намного больше йе При принятых условиях поля температур и товоого тв оооамеоо скоростей можно описать Лифференциальными уравнениями в приближении пограничного слоя (см. 4 4-4).
Учтем дополнительно подъемную силу рййб, считая ее соизмеримой с вяакостяым членом П(дйл„/дуо). Введем также обозначение 0=1 — дь гне 1 — температура жмцкостн (заметим, что е((=е(0, так как 1о== сопи). Уравнение энергии дВ дВ ди ы„— +аи — =а —,; *да дя дз- уравнение ЛшпКення дв„дв д и„ +нЧ =-"- — е+й()31 дх дя ' да уравнение сплошностн — ь+ — =0. ди двь дх др 150 Напншем граничные условия: !! Вдали от тела (р=-оо) Э=с,~ О; ш„=шб м„=- О.
2) Па поверхности тела (у.=б, Ощхщ(„— тщзщ+оч) й.=й =(,— (,=сошй ш = (а) В уравнениях в условиях одноаначиостн можно различить трн вида величин: независимые псрсмснные — это иоординаты х, у. заяисимые переменные — это б, ш,„и ш„; зависимые переменные однозначно определяготся значениями независимых переменных, если заданы величины, нходшпие в условия однозначности; ООСтОЯПНЫЕ ВЕЛ Н ЧИПЫ---Эта Шь !ь, !е, б,„т, а, ДР Н ДРЧ ОПИ задаются условаямн однозначности и для определенной зада ш нзлиютсн постсянными, не зависящими от других переменных; от зады~и к задаче оии могут меняться; постояпнымн эти вьтичипы называют потому. что оци не яяляются фувкцией независимых переменных.
Таким образом, искомые зависимые переменные б, ш„н ш„зависят от большого числа величин: они являются функцией неаавигимых перемеввых и постоянных величин, входящих в условия однозначности. Величины, солержащиеся в уравнениях и условннх одпозяачности, можно сгруппировать в комплексы. Число безразмерных комплексов будет меньше числа размерных величин. Для приведения к безразмерному виду выберем масштабы приведения.
В качестве масштабов улобно принять постоянные величины, входящие в условия однозначности. Для линейных величин выберем какой- либо характерный размер, например дзпш» поверхности теплообмена 1ь, для скорости шь, для теьгпературы бч. Обозначим безразмерные величины: (Рт О"= 'б аь э (б) Тогда 151 л=-4,Х, р=--(,у, ш„=ив!Г„) шз = шейд» О =- йчй.
Подставим в >равнения значения величии согласно равенстваьг (в). Преобразуем уравнение энерппь Так как, яэпрамер, то в результате подетановкн равенств (в) после умножения леной и правой частей уравнения энергии на Рь/а будем иметь: Аналогично преобразуем и уравнение движения. Г!осле подстановки равенства (в) в уравнение движения умншким его на Рч/тпь В результате получим. 'Л "зх ' зу ) ау* Сделаем следующее преобразование комплекса, вхолящего в последнее уравнение: а)а и арз и Учитывая эти преобразования, окончательно получаем: После преобразования ураннения оплошности получим: илн, так как а,:/1, не равно нужо, дв' дп"з — "+ — т = — О. дХ дг (5-й) Приводя к безразмерному енлу граничные условия, получаелс 1) вдали от тела (У=ос) 6=бе=0, йт„=!, П вЂ” О; й) на поверхности тела (У=О, О~Х~!] 9=9,=1, йт„=(ра=.б.
Из условий (г) слелуеп что, весь!стра на то что величины Оь 1ь, Га и др., входящие в размерные граничные условия, Могут илжть различные числовые значения, каждая из безразмерных величин Йь Вс и др. имеет в рассматривасмом случае вполне конкретное числовое значение. Как след)чт из ф 4-4, йри известном температурном поле коэффициент теплоотдачи может бать определю| по уравнению Пршюдя к записи в безразмерных переменных, получаем: грит (б 4» тат те=э Беэразмерный комплекс а(ь/Л полностью Определяется производной (дВ/ду) т а. а-з.
ЕЕЕЕАЗмезные пюеменнме [чиснА пОдОБия) и нзАанения пОдОБия Помимо безразмерных величаи 9, 1У„, йт„и безразмерных координат, соетавленных из однородных физических величин, в уравнения вХодят также беаразмерные комплексы, состоящие нэ разнородных физических величин: !53 Эпгм комплексам, называемым числами подобая, присвоены имена ученых, внесших значительный вклад в развитие гйдродннамики яли теплонерелачи.
Первый иэ этих безразмерных комплексов обозначают «! Иц== — ' л (5-5) н называют числом Нуссельта или безразмерным коэффициентом тенлоотдачи. Число Нуссельта характеризует теплообмев иа гранииеР стенка — жидкость; это следует из уравнений (4-3) и (5.1). В задачах хопвективного тенлообмена число Иц обычно является искомой величиной, поскольку в него входит опрЕделяемая величина а. Несмотря на внешнее сходство с числом Био, рассмотренным прн изучении теплонроводности, число Нуссельта существенно отличается ° от него.
Б чнсл6 В()входит коэффициент твнлопроводности твердого тела; в число Ни — коэффициент тен он ти вгвдкости. Крохкие того, в число Био коэффициент тенлоотцачи вводится как величина, заданная в условиях одноэвачиссти, Мы же рассматриваем коэффициент теплоотдачн, входящий в Ищ как величину искомую. Безразмерный комплекс называют числом Р ейиольдса. Оио харахтеризует соотношение сил ° инерции и сил вязкости. Действительно, число Рейнольдса будет повучено, если член уравнения движения, учитывающий инерционные силы, разделить на член, учитывающий в этом уравнении силы трения: м дм Лдх в*,тг, В' дн' УдХ м,1, Я',дж,/дХ д и lдз* тм ГГ двт' )дт т д В' lдг Т!о существу такую же операцию мы проделали в $5-2 при вриведении уравнения двнткения к безразмерному виду.
Число Рейиольдса является важной характеристикой как изотермвческого, так и неизотермического процессов течения жидкости. Третий бевразмерпый комплекс обозначают Ре = — '' м,г, (5.2) а н называют числом Пекле. Бго можно преобразовать следующим образом: мг Ггвмз а Л вЂ” в в Гз Здесь числитель характеризует теплоту, переносимую каивекцией, азнаменатель — тенлоту, переносимую тевлопроводносгью. По существу мы получили ранее число Пекле путем леления конвектавного члена уравнения На член, учитывающий перенос теплоты теплонроводнастью. Безразмерный комплекс йг =- —,,'— я1'.
ь — 1 (5-6) В случае однородной среды при условии р=.сопя! число Архимеда илеитичио числу Ог. Используя введенные обоаначеиия, систему безразмерных хиффе ренцивльньж уравнений можгю записать в следюощем виде: Нн=- — (дй!ду) т.=-э! де де т а'е дХ "г)У) дУ*' дж„аи' т цг д я'„ *дх тг) ц ' а + г 6 дХ ду (5-)о1 (5-(д) Система безразмерных дифференциальных уравнений и безразмерных условий однозначности (г) [см. 5 5-2) представляет собой математическую формулировку задачи.
Безразмерные величины 6, Яг, йм Л, У, Нн, ((е, Ре, Ог можяо рассматривать как новые переменныс. Их можно разделить на три группы: независимые переменные — это безразмерные координаты Х, У; зависимые переменные — это Нн, 6, %', 6'„; они однозначно определяются значениями независимых переменимх прн определенных значениях величии, входящих в условия однозначности; постоянные величины — ато Ре, )!е, Ог; они заданы условиямн однозначности н для конкретной задачи являхпся постоянными (действительно, как следует иэ (5-6) — (5-8), числа Ре, Ке и Ог состоят только нэ величин, входящих в углоиия задачи).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
