В. П. Исаченко, В.А. Осипова, А. С. Сукомел - Теплопередача (1013600), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Если цсе константы подобия равны единице, то процессы являются тождественными. Предположим, что подобным процессам А и Б подобен также про. веса В. Тогла можно записать." Та=с' рш причем с, и с' в общем случае ие раины. Таким обравом, подобные процессы можно рассматривать как один а тот же процесс, но взятый в различном масштабе, причем масштабы разноименных еаеичак зюеут бьаь неодинаковыми. Выбор «онстант подобия ис может быть произведен произвольно.
Покажем это на примере. 161 Для двук подобных процессов А и Б вынужденной конвекцяи сира. ВЕДЛИВО УСЛОВИЕ )»ЕА=Р~, ГДЕ МОЛ»ОА ОЗ»ОВ )(ел= — — и )»е = —, "А в Одноименные величины, входящие в )»ел и )сея, связаны межлу со- бой с помощью констант подобна» »ем=с мю ТАЯ=с!1ю и ТА=с та. Подставив эти равенства в Де, получим: О.Г, и»»»!ю С О, 'в ялн »»ОА Кээ С„ Эта и есть условие, ограничивающее произвольный выбор констант е г,ис„. А»»ала»нино Я Ргя с Э.Э. МЕТОД ЭАЭМВЭНОСШЯ Необходимой предпосылкой теории подобия является математическое описание изучаемого процесса в виде дифференциальных (нли интегроднфференциальных) уравнений и условий однозначносп». Из математической формулировки задачи следует перечень су»цествеиных для рассматриваемого процесса физических величин.
Если перечень установлен, то выявление чисел подобна может быть произведено меюдом анализа размерностей. Иногда список размерных величии устанавливают интуитивно, беэ строгой формулировки краевой задачи. В юоч случае возможны ошибки. Подробно теория размерностей рлссматривается в специальной литературе, например в (Зй 15, ЗЗ, 159]. А)ь» ограничимся рассмотрением некоторых аывопаз, слелующих из анализа размерностей и имеющих ин»ерес для практического использовании обобщенных переменных. Можно различать Лва вида физических величин» первичные (основные) и вторит н ы е (производные). Первичные величины характеризуют какое-либо физическое явление непосредственно, беэ связи с другими величинами.
Вторичными явлнются величины, которые выражаются через первичные согяасно определениям или физическим законам. Так, например, если длина и время являются первичными величинами, т. е. если длину нельзя выразить через время (и наоборот), то скорость, представляющая собой по опре. делени»о отношение длины ко времени, является вторичной, производной величиной. Выбор первичных величин, вообще говоря, произволен. В системе СИ за перюмные выбраны длина (Б), масса (М).
время (Т), темпера- 162 тура (8), сила гока (!), сила света (7); здесь 7., М, Т, В, 1 и У вЂ” символы соответствующих первичных нелпчин. Известны и другие системы первичных величия, используемых или предложенных к использованию. Например, Гауссом было предложено использовать в качестве первичных величаи длину, массу и время; остальные мыслимые величины должны быль пронзводнымп. При выборе перввчных величин бопьшсе зиачеаие имеет вопрос об удобстве нх применения. Символическое выражение производной величины череа основные (первичные) называетсн размерностью. О размерности можно говорить только применительно к определенной системе первичных величин.
Размерность лгожно представить в виде от~пенной формулы. Применительно к системе СИ формула размерности имеет вид: (5-27) (9! = ь 'М 7 В '1 'У ° где (ю! — пранэводнан единица измерения; п, — действительнью числа. Размернос~ь вторичной величины относительно данной первичной 1 может быть охарактеризована значением показатели степени пг при втой первичной величине. Поэтому безразмерные числа часто называют величинами с нулевой размерностью, так как для них все показатели степени в формуле размерности (5-27) равны нулю. Согласно формуле 5-27) размерность первичной велнчины можно принять равкай единице берется относнтелыю себя).
Помимо размерности физические величины характеризуются числовыми значениями. Числовые значения ~ервичных величин получают путем прямого измерения, т. е. пугелг сопоставления измеряемой величины с некоторой величиной тай же физической природы, выбранной в качестве стандарта и называемой единицей измерения. Выбор единиц измерения первичных неличип (основных единиц измерения) произволен и определяется вопросамн удобства их непользования. Числоное значение вторичной величины определяется косвенным путем, *го находят по числовым значениям первичных величин. От выбора единиц измерения первичных величин зависят численные значения как первичным, так я вторгыных величин. От выбора основных единиц измерения не зависят только численные значения безразмерных величин (величин с нулевой размерностью). Выбор перечня первичных величин н их единиц измерения является необходимым и основным юагом на путе создания системы единиц измерения.
Рассмотрим пример испольаования метода размерностей. Определим безразмерные переменпыв, соответствующие математической формулировке задачи, привгленпов з й 5-1. Из этой задачи следует, то (а) б=-)(х, Ю 6;, й, юэ, т, и, йй). В списке величин, сущее~венных чля рассматриваемого процесса, представлено девять переменных (п=й). В рассматриваемом нами примере использованы три перничиые величнны системы единиц измерения СИ: длина, время, температура (Й=-З). Пользуясь возможностью произвольного выбора основных единиц измерения, разделим переменные, входящие в уравНение (а), на две группы; на величины с независимой раамерносгью (основные) н на величины с эавнснмой размерностью (производные). Мы как бы создаем новую систему единиц измерения (специально для рассматриваемой зз- 4! 155 дачи). Первый шаг на атом пути--выбор пере*шя первичных величии (величин с независимой размерностью).
За величины с независимой размерностью выберем постоянные [1ч]=7., [бч]=6 и [т]4 бари. Число величин С независимой размерностью сОответствует числу первичных величин системы СИ, нсполшуемзлх в рассматриваемом примере (А=З). Размерность остальных величии выразим через [1,], [бч] и [ч] согласно формуле размерности: [х]=Щ, [у]=[й], [б]=[а.], [м ] = =-[1в]У '=[(ч '[т], [и]=[1ю]зУ '= — И, [ХД=М6]-*т- =[1УЬж6]-. Назначим единицы измерении величин с независимой размерностью. За основные единицм измерения н данном случае удобно выбрать числовые значения постоянных 1ь бч и т, заданные в условиях одвозвзчвости. Новые числовые значения физических величин х', б' и др.
получают путем сравнения с новым стандартом, т. е. х'=х/1ь б'=б/б, и т. л. Физический пропесс не зависит от выбора единиц измерения, поэтому уравнение (а) должно сохранить свою структуру прн различных значениях масштабов пересчета. В новых числовых значениях переменных уравнение (а) может быть записано слелующим образам: Здесь все величины-комплексы являются безразмерными. Величины бч/бв, !е/(ь т/», равные единице, могут быть выведены из-под знака функции. Используем обозначения чисел полобия, введенные в й 5-2 Тогда 6=[(Х, У, Ре, Рг, Ог).
(б) Аналогичный результат ранее был получен методом масштабных ереобразоваиий — формула (5-2х) . Согласно (4.22) в данном случае — "=-(') т. е. комплекс абс/й= рч/й зависит от тек же переменных, что и б. Тогда. так как ~ '1 — '- ' Н'-..., =-' — . — '1=6У. '=[Э][1,] ' и ( — '11 = — -- — '=Р(п, нолучаем, что число Нн зависит от тех же безразмерных величин, что н 6 — см. уравнение (б). Из сравнений (а) и (б) следует, что при переходе к безразмерным величинам чисто переменных формально сокраызлось от девяти до ше. стн.
Зтот вывод соответствует так называемое п-теореме. Согласно и-теореме физическое ураы ение, содврвшщее п~2 размерных величин, из кшорых й,м1 вали ма имеют независимую размер 164 игхть, после приведения к безризмериомр еидр будет содержать и — й безрпзмериык величин. Метод масштабных преобразований, использованный а В 5-1, пе показывает, сколько безразмерных переменных мы должны получитЬ. Число безразмерных переменных указывает и-теорема. Ошибка в определении часла безразмерных переменных, актуальных для рассматриваемого процесса, может привести к серьезным огпибкам прн описании экспериментальных данных в виде уравнений подобия. В заключение отметим слелующее обстоятельство.
Математическая формулировка задачи, приведенная в ф 5-1, записана для ламннарного пограничного слоя, так как не учтены коэффициенты турбулентного переноса теплоты и количества движения, Полагают, что Хт и р зависят от тех же величии, от которых зависят поля осредиениых скоростей и температуры. Тогда согласва теории размерностей полученная система чисел подобия справедлива и для турбулентною течения. Конечно, входящие в числа подобия значения температур н скоростей уже будут осредненными во времени.
3-г. мОделиРОВАние пзоцессав ианвюпивнота геппоаименА При моделировании изучение процесса в образце заменяется исследованием этого же процесса на модели. Очеввдна, процесс в модели должен быть осуществлен так, чтобы результаты его изучения можно было перенести на образец. Условия моделирования, т. е. условия, которым должна удовлетворять модель и протекающий в ней процесс, дает теория подобия. Если процесс в модели будет подобен процессу в образце, то результаты исследования на модели могут быть примененм к образцу.
Моделирование во сушеству включает в себя две самостоятельные задачи. Во-первых, в модели необходнлю осуществить процесс, подобный процессу, происходящему в образце, и, во-вторых, выполнить на модели все требуемые измерения н наблюдения.Мы рассматриваем первую задачу. Техника измерений н наблюдений оивсывается в специальаой литературе гЛ. 70, 139, 143 н зр.). Чтобы процессы в модели и образце были подобны, июбходимо осуществить сформулированные ранее условия подобия. Первое условие подобия говорит, чта моделировать следует качественно одинаковые процессы, т. е.
процессы, имеющие одинаковую физическую природу и описываемые одинаковыми дггфференциальными уравненичлги. Второе условие подобия требует, чтобы условия однозначности по- лобных процессов гв образце и модели) были одинаковы ва всем, кроме числовых значений постояиггых, сапержзюпхся в этих условиях.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
