В. П. Исаченко, В.А. Осипова, А. С. Сукомел - Теплопередача (1013600), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Для некоторых жипкостей, например длн воды прн 1<4 С, коэффициент й может иметь отрицательное аначение. Для идеального газа температурный коэффициент объемного расширения есть величина, обратная абсолютгюй температуре газа, В неравномерно нагретой жидкости вследствие теплового расширения возникает иеолвородное поле плотности, что в конечном итоге может привести н своболному движению. 4-3.
днФФеренцнальные ераяненнв НОнвепненсто тепвООемена (постановка краевых задач «Онванунеиого тютлооемнш) Из уравнения (4-2) д = — Худ+ рвг спедует, что плотность теплового потока в любой точке лсвлкостн для каждого момента времени однозначно опреЛЕляется, если КзвестнЫ поля температур, удельной эптальпин и скорости. Связь между температурой и знтальпией может быть установлена следующим образом.
Для реальной жидкости г= ЦТ, р), и согласно понятию о полном дифференциале (дт) + (ар у )=~сздТ+ Я,— ') срр. Из дифференциальных уравнений термодинамики и из определенна телупературною коэффициента объемною расширения следует. чтс~ ®,-И'+-'Р),1=-' '- ' Для многих задач в предположении о несжимаемости жидкости (р=-сопя!) с достаточной степенью точности можво принять (друдр) г =0, т. е. пользоваться соотношеивем, справедливым для термодннамическн идеального газа: сй=с дТ и 1=~с ЕТ.
Приведенные здесь уравнения позволяют установить связь между полем телуператур н полем энтальпин. Чтобы аналитически найти поли температур (энтальпии) и скоростей и определить С, необходимо располагать соответствующими уравнепияМи. Уравнение энергив. Выведем дифференцвальное уравнение. описмвающее температурное поле в двкжущейсн жидкости. Прн вывода будем полагауть гго жидкость однородна к изотрошуа, ее физические параметры постоянны, энергия деформаднк мала по сравнению с изменением внутренней энергии.
Вылепим в потоке жидкости неподвижный отясснтельпо координатной системы элементарный параллелепипед (рис. 4-3) с ребрзнчимьного унавзезв Рис. 4-З. К в оау азФФе- рами дх ВЕ н Сз. Через грани параллелепипеда теплота переносится теплопроводжютью н конвекцней; в общем случае в рассматриваемом объеме может выделяться теплота внутренннни источниками за счет энергии, внешней по отношению к рассматриваемой жидкости. Вывод уравнения энергии, соответствующего принятым здесь условиям, ууке рассматривался в $1-6.
Было получено уравнение (1-25): дг р — = — б)ну+а, где Согласно уравнению (4-2] проекпии плотности теплового потока д на координатные оси Ох, Ор н Оя равны: 4„=- — ! — +рлдй ды †††! — +рич! и ц,= — ! †„ +рых!. (4 В) дс . дг . др д» ' " ау д« Подставляя значеню! д, д, и д. а уравнение (1-25), можно получить: Для несжимаемых жидкостей р сопи! (см. уравнение (4-29)) б!ы.ы = — — „" + — к+ —; =О. ди„ди ди — а аы д..—. Тогда —,+ы.
— +ы — +ы — — — ~- —,+ —,+ —,)+ —" (4-9) др дт Рп дт Х Г дч д'г дч т Ы, д " д» "ду дх р (ух' ду* ах*) р илн, если р=') сраТ, Последнее уравнение, как и уравнение (4.9), является искомым уравнением знергип, описывающим распределение температур внутри движущейся жидкости. Многочлен, стоящий в левай части уравнения (4-!0), представляет собой полвую производную от температуры по вреыени. Действительно, если г=г(т, х, д, а), то на основании понятия о полной производной имеем: а аг щах аиду щи — = —,+ — — + — — + — —, их а а»ат ауд ахль' где ах ау ах —, — и— д'д Щ имеют смысл составляющих скорости ы,„, ы, и ы,. Здесь дг(дт характеризует изменение температуры во времеви в какой-либо точке жилкости, т.
е. является локальным изменением Г; член щ щ щ +ыы +ых дх ду дх характсриаует изменание температуры прн переходе от точки к точке, т. е. янляется конвективиым изменением Г. Праысняя обсиначеиие дЧ дЧ д'Г -г+ — '+-'гу 2Ч. дХ" Оу* дху 131 уравнение энергии молвю змшсать в дюрме и'. э вй — дуй+ — '.
ма (440) Если ю„=ю„=ю,=-О, уравиенне энергии переходит в уравнение тенлопроводности. При стационарных процессах лонзективцого теплообмена б//дт=.О. Уравнение (4-10) еше более упрощается, сели температура изменяется толысо ио одной или двум координатам. В случае стациоварвога одно- ьгерного температурного поля все производные я хк я по т, я х равны нулю. 'Йг .
к следует из уравнения (4-10), телшераэ , '1Р туриое еолс в движущейся жидкости зависят от сосгавлюощих скорости гэ, юэ и ю . Чтобы сдв! иг~ )г+~~гйг лать систему уравнений заыкнуто(ц необходимо цт добавить УРавпевиЯ, котоРые бы описывали из. эг (к+айг/э лгевениг скорости во времени и нростравсгее. Таками уравнениями явлиютси диффереищгальные уравнения двиэкения.
Уравнения движения. Вывод дифференциального уравнения движения вязкой жидкости требует громоздких математических видас. 4-4. к ° охг лвй- кладок. В связи с этим будет даи уирощешгый вывод этого уравнения ддя случая одвомерного течюшя несжимаемой жидкости (Л. 124). Этот вывод не является строгим, его основное достоинство заключается в наглядности. Для трехмерного движения уравнение будет н(введено без вывода. Уравнения движения подробао рассматрнащотся в курсах гидродннамики и монографиях но теплопередаче, например а (Л. 202). Выделим в потоке вязкой жидкости элементарный объем с размерами ребер г(х, г(у и бг (рис. 4-4). Скорость а потоке взменяется только в нап велении оси у, закон изменения скорости произволен.
ывод уравнения двюкения основан на втором закона р!ьютоваг сила равна массе, умвожевнай ва ускорение. Силы, действующие иа рассматрииаемый элемент жидкости, можно раздельна ва массовые (или объемные) и поверхностные. Массовые силы характаркэуют вектором Г, мз/с, значение которого равно отношению силы, действующей на данвую частицу, к массе этой частицы. Если учитывается только сила тяжести, то Г=й, где й — ускорсвие снободного явления. Мы в дальнейшем будем учитывать толька силу тяжести. Значевие поверхиогтгнах сил равно отношению силы, действующей на элемент поверхности, к величине площади этого элелгепта. К поверхностным силам относятся силы трения и смаы давления Таким образом, на рассматриваемый элемент жидкости действуют три силы: сила тяжести, равнодействующая сил давления и равиодейсгвующая сил трения.
Найдем проекшэи этих сил на ось Ох. Силы тяжести и/г приложена в центре тлжести элемента. Ее ироекцня на ось Ох равна произведению проекции ускорения свободного падения й„на массу элемента: б/и рй„бо. 132 Равнодействующая сила давления г))з определяется следующим образом. Если на верхней грани элемыжа давлюгие жидкости равно р, то на площадку пуда действует сила р г)у г)а.
На нижней грани давление с точностью до второго члена разложения в ряд Тейлора равно р+ — сгх. и на эту грань действует сила дд лх — (р+ — пх) г)д йз. Здесь знак минус указьаа ет на то, что вта сила дейв» дх ствует против направления движения жидкости.
Равнодействующая снл давления ранна их алгебраической сумме: Равнодействующая сил трения фз определяется нз следующих соображений. Так как скорость изменяегсв только я направлении оси Ор, то сила трения возникает на боковых гранях элемента жидкости (рис. 4-4]. Около левай грани скорость движения частиц жидкости меньше, чем в самом элементе.
поэтому здесь в сечении у сила трения направлена против движения и равна зпхбх. Около правой грани, наоборот, скорость движения частиц жидкости больше, чем в самом элементе, поэтому здесь в сечении р+г)у сила трения направлена в сторону движения. Равнодействующая этих сил равна алгебраической сумме: Щ,= (з+ — г)у~ йх да — здхпг= 3- до. ш дз аг ) 3 Подставляя з - » (ьгю„гор), получаем г]), = » — г(о.
з".з Суммируя г)(г, о)з н гф)з, получаем проекцию на ось Ох равнодействующей всех сил, приложенных к объему: и) = (ра. — — „+».— ч- ) оо. пр дчы"т * пх ' лзг) Согласно второму аакону механики эта равнодействующая равна произведению массы элсыента на его ускпренне г)ж„)дт и учитывает силы инерции: Н)=р —," огх пп (б) Приравнивая правые части уравнений (а] и (б) и производя сокращения, окпнчателыю имеем уравнение днижения вдоль оси Окг пзь пр»в„ р -~-= ра.
— — „+» —."-. ях дз" ' Описание движения жидкости усложняется, если скорость изменяется по трем направлениям. В общем случае трехмерного движения несжимаемой жидкости с постоянными физическими параметрами скоростное поле описЫвается тремя уравнениями движения, каждое соот- 133 ветственно в проекцинх сил на осн Ох, Оу и О»: для оси Ох д»Ь др /д в„д и д»м Р—,'" =Рй.— +! ~ — ". + —;+-- — Р д * д1» ~ дк* ду' дкх )' для оси Оу (4-11) Р =Рй"ы — +Р—,+- —,+ —, О»Ь др /д'В» д И» д*вы т, д ду ( дк ду д» )! (4-1»! для осн О» Р— * — Р໠— — +Р! —,'+ —:+ —," ). д д ~ дх* ду' д»* )' (4-! 3) Уравнения (4-11) — (4-13) называют уравнениями Навье — С.'токов Все слагаемые уравнений (4-11) — (4-!3) имеют размерность силы. отнесенной к единице объема. В общем случае сосгавляюшие скорости ш„.
ш„и ш, изменяются во времеви и а пространстве. Член, стояжнй в левой части уравнений (4-1!) — (4-13), представляет собой палнукг прон»волну»о от скорости по времени. На основании понятия а полной производной имеем: дм„дв„дм„дм д℠— — +ш„— +пь» — — -+ш„— д'д "дхду*д.' (4-14] Аналогично н для других осей: — = — +ш — +ш„— +ш. -д — ! двы д»т дм» дв» дхь. д д: "дк ду *д»! дъ д„д, д, »ги» вЂ” = — +в~» — +»»» — *+ш,— д' д " дх ду д» (4-13) (4-!6) Хи Рд:,. =Рй Уй+яр'ш' (4-)Л Уравнение движений (4-17) гюлучено без учета зависимости физических параметров жицкости от температуры.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
