В.Н. Нефедов - Алгебра множеств, бинарные отношения в примерах и задачах (1013084), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

2.1351   UA ( x)01 UA (x)01Утверждение (г) обосновывается таблицей 2.2, в которой перечислены все возможные случаи относительно произвольного элементаx  U и во всех этих случаях левая часть доказываемого равенства равна правой его части (см. совпадение двух последних столбцов):xA xBдаданетнетданетданетx ABданетнетнет UA (x)1100 UA ( x)  BU ( x) BU (x)  UAB (x)101010001000Табл. 2.2Утверждение (д) обосновывается таблицей 2.3, в которой перечислены все возможные случаи относительно произвольного элементаx  U и во всех этих случаях левая часть доказываемого равенства равна правой его части (см. совпадение двух последних столбцов):x AxBдаданетнетданетданетx  A  B  U (x)  U (x)  U (x)ABA Bдададанет11001010UUUU A ( x)   B ( x)   A ( x)  B ( x)11101110Табл.2.3Для доказательства утверждения (е), в силу A \ B  A  B , а также, используя (в),(г), имеем:  UA\ B ( x)  UAB (x )   UA ( x)  BU ( x)   UA ( x)(1   BU ( x))   UA ( x)   UA ( x)  BU ( x) .ЗАДАЧИ:Задача 2.1.

Доказать, что для произвольных множеств A, B, C, Dвыполняется ( A  B)  (C  D)  ( A  C )  ( B  D) .Доказательство. Действительно, x, y  ( A  B)  (C  D)  x  A  B, y  C  D  x  A, x  B, y  C, y  D  x, y  A  C, x, y  B  D  x, y  ( A  C )  ( B  D) .36Задача 2.2. Пусть A, B   и ( A  B)  ( B  A)  C  D . Доказать, что в этом случае A  B  C  D .Решение. Предположим, что A  B и, например, a  A : a  B .Пусть b  B . Тогда a, b  A  B, b, a  B  A  a, b , b, a  C  D  a, b  C; a, b  D  a, a  C  D , ноa, a  A  B, a, a  B  A  a, a  ( A  B)  ( B  A)  C  D, т.е.пришли к противоречию с a, a  C  D . Таким образом, A  B , откуда C  D  A  A, а следовательно, C  A  B  D .Задача 2.3*. Доказать, что (а) ( A  B)  (C  D)  ( A  C)  ( B  D) ; (б) при каких A, B, C, D это включение можнозаменить равенством( A  B)  (C  D)  ( A  C)  ( B  D) .(2.1)Решение.

(а) x, y  ( A  B)  (C  D) x, y  A  B  x  A, y  Bx,yABx,yCDxC,yD x  A  C, y  B  D  x, y  ( A  C )  ( B  D) .(б) Найдем теперь необходимое и достаточное условие для выполнения (2.1). Если A  C , то ( A  B)  (C  D)  A  ( B  D) (см. тождество 1 ), т.е. (2.1) выполняется при любых B, D .

Аналогично, еслиB  D , то ( A  B)  (C  D)  ( A  C)  B (см. тождество 1), т.е. (2.1)выполняется при любых A, C . Пусть теперьA  C, B  D.(2.2)Докажем, что в случае (2.1),(2.2) выполняется:либо A  C , либо C  A .(2.3)Предположим противное: a, c : a  A, a  C; c  C, c  A , и, например (поскольку B  D ; см.(2.2)), b  B : b  D . Тогда A  Bc, b  c, b  ( A  B)  (C  D) , C  D37но c, b  ( A  C )  ( B  D) , что противоречит (2.1). Если жеd  D : d  B , то A  Ba, d  a, d  ( A  B)  (C  D) , C  Dно a, d  ( A  C )  ( B  D) , что противоречит (2.1).Совершенно аналогично доказывается, что в случае (2.1),(2.2) выполняется:либо B  D , либо D  B .(2.4)Покажем теперь, что в рассматриваемом случае (2.1),(2.2) выполняется A  C  B  D .

Пусть A  C , т.е. c  C : c  A . Предположим, что не выполняется B  D , т.е., с учетом (2.2), b B : b  D .Тогда c, b  ( A  B)  (C  D) , но c, b  ( A  C )  ( B  D) , чтопротиворечит (2.1). Совершенно аналогично доказывается, что в случае(2.1), (2.2) выполняется C  A  D  B .Таким образом, в случае (2.2)необходимым условием для (2.1) являетсялибо A  C , B  D , либо C  A , D  B .(2.5)Покажем теперь, что в случае (2.2) условие (2.5) является также идостаточным для (2.1).

Пусть, например, A  C , B  D . ТогдаA  B  C  D  ( A  B)  (C  D)  C  D , A  C  C ,B  D  D  ( A  C)  ( B  D)  C  D , т.е. (2.1) выполняется. Случай C  A , D  B рассматривается аналогично.Таким образом, для справедливости (2.1) необходимо и достаточно,чтобы выполнялось одно из условий: (а) A  C ; (б) B  D ; (в) A  C ,B  D , A  C , B  D ; (г) A  C , B  D , C  A , D  B .Задача 2.4. Доказать, что для любых бинарных отношений 1 ,  2(т.е. для произвольных множеств упорядоченных пар) выполняется: (а)( 1   2 ) 1  11   21 , (б) ( 1   2 ) 1  11   21 .38Решение.

Докажем (а) x, y  ( 1   2 ) 1  y, x  1   2  y, x  1 , y, x   2  x, y  11 , x, y   21  x, y  11   21 . Покажем теперь справедливость (б):x, y  ( 1   2 ) 1  y, x  1   2 y, x  1  x, y  11 x, y  11   21 .1  y, x  1  y, x   2  x, y   2 С другой стороны,x, y  11   21 x, y  11  y, x  111 x, y   1  x, y   2  y , x   2  y, x  1   2  x, y  ( 1   2 ) 1 .Задача 2.5.

Доказать, что для любой функции f : X  Y , если длялюбых множеств A1 , A2  X выполняется равенство f ( A1  A2 )  f ( A1 )  f ( A2 ) , то функция f является инъективной.Решение. Предположим, что функция f не является инъективной.Тогда x1 , x2  X : x1  x2 , f ( x1 )  f ( x2 ). Положим A1  {x1},A2  {x2 }. Тогда f ( A1 )  { f ( x1 )}  { f ( x2 )}  f ( A2 )  f ( A1 )  f ( A2 )  { f ( x1 )}  . С другой стороны, f ( A1  A2 )  f ()   , т.е. пришли к противоречию с условиями задачи.Задача 2.6.

Доказать, что, если f : X  Y , A  X , B  Y , то (а)A f1( f ( A)) ; (б) f ( f1( B))  B ; (в) f ( A)  B  f ( A  f(г) f ( A)  B    A  f11( B)   ; (д) f ( A)  B  A  fРешение. (а) x  A  f ( x)  f ( A)  x  f1( B));1( f ( A)) ; (б)y  f ( f 1 ( B))  x  f 1 ( B) : y  f ( x)  y  f ( x)  B ; (в)y  f ( A)  B  y  f ( A), y  B  y  B, x  A : y  f ( x)  y  f ( x), x  A, f ( x)  B  y  f ( x), x  A, x  f 1 ( B) 39( B) . y  f ( x), x  A  f 1 ( B)  y  f ( A  f 1 ( B)) ; с другой стороны(см.

утверждение 2.5 (б), а также включение (б) из настоящей задачи),f ( A  f 1 ( B))  f ( A)  f ( f 1 ( B))  f ( A)  B . (г) Пустьf ( A)  B   . Предположим, что A  f1( B)   . Тогда1x  A  f ( B) , откуда f ( x)  f ( A), f ( x)  B , а следовательно,f ( x)  f ( A)  B , что противоречит условию f ( A)  B   . Пустьтеперь A  f1( B)   . Предположим, что f ( A)  B   . Тогдаy  f ( A)  B , откуда y  f ( A), y  B , а следовательно, x  A :y  f ( x), y  B . Но тогда x  A, f ( x)  B , а следовательно, x  A,x f1A f( B) , откуда x  A  f11( B) , что противоречит условию( B)   .

(д) Пусть f ( A)  B . Предположим, что не выпол-( B) . Тогда x  A : x  f 1 ( B) , откудаx  A, f ( x)  f ( A) , f ( x)  B , что противоречит включениюняется включение A  f1f ( A)  B . Пусть A  f1( B) . Предположим, что не выполняетсявключение f ( A)  B . Тогда y  f ( A) : y  B , откудаx  A : y  f ( x), y  B , а следовательно, x  A : x  fтиворечит включению A  f11( B) , что про-( B) .Задача 2.7. Пусть f1 , f 2 – функции из A в B . Доказать, что (а)f1  f 2 ((б) f1  f 2 ) является функцией из A в B тогда и только тогда, когда f1  f 2 .Решение. (а) Пусть f1  f 2 – функция из A в B , x – произвольный элемент из A .

Тогда D f1  f 2  A, а следовательно, y  B : x, y  f1  f 2   x, y  f1 ,  x, y  f 2  f1 ( x )  y  f 2 ( x ) .(б) Пусть f1  f 2 – функция из A в B , x – произвольный элемент изA . Тогда для y1  f1 ( x), y2  f 2 ( x) выполняется:  x, y1  f1 , x, y2  f 2  x, y1 ,  x, y2  f1  f 2 . Поскольку f1  f 2 –функция, то y1  y2 , а следовательно, f1 ( x)  y1  y2  f 2 ( x).40Задача 2.8.

Доказать, что  UA B ( x)   UA ( x)   BU ( x)  2 UA ( x)  BU ( x) .Решение. Используя утверждения из упражнения 2.7, а также очевидное тождество ( A \ B)  ( B \ A)  A  B  B  A   , имеем: UA B ( x)   UA\ B ( x)   BU\ A ( x)   UA\ B ( x)  BU\ A ( x)   UA\ B ( x)   BU\ A ( x)   (UA\ B )( B \ A) ( x)   UA\ B ( x)   BU\ A ( x)   UA ( x)   UA ( x)  BU ( x)   BU ( x)   BU ( x)  UA ( x)   UA ( x)   BU ( x)  2 UA ( x)  BU ( x).Тема №3. Рефлексивность, симметричность, антисимметричность, транзитивность бинарных отношений.

Отношение эквивалентностиБинарное отношение  на множестве A называется рефлексивным, если x  Ax, x   (или x  A xx ).Пример 3.1. Бинарное отношение «равенства» на множестве действительных чисел R является рефлексивным, так как x  x для любого действительного числа x . Напротив, отношение  на R не является рефлексивным. Бинарное отношение «параллельности» на множестве всех прямых на плоскости (или в трехмерном пространстве) является рефлексивным, так как по определению каждая прямая параллельна самой себе. Напротив бинарное отношение «перпендикулярности» натех же множествах не является рефлексивным.Упражнение 3.1. Исследовать на рефлексивность (а) бинарное отношение подобия на множестве треугольников на плоскости; (б) бинарное отношение «меньше или равно» на множестве действительных чисел R; (в) бинарное отношение  на R.Бинарное отношение  на множестве A называется симметричным, если x, y  Ax, y    y, x   (или, в другой формезаписи, x, y  A xy  yx ) , или, что то же самое,    1 .Бинарное отношение  на множестве A называется антисимметричным, еслиx, y  Ax, y   , y, x    x  y (или, в41другой форме записи, x, y  A xy, yx  x  y ).

Нетрудно показать, что приведенное определение эквивалентно следующему определению: x, y  Ax, y   , x  y  y, x   .Следующее утверждение очевидно.Утверждение 3.1. Пусть 1 ,  2  бинарные отношения на A ,1   2 и  2 антисимметрично. Тогда 1 антисимметрично.Пример 3.2. Бинарное отношение «равенства» на множестве действительных чисел R является симметричным , так как x, y  Rx  y  y  x . Это же отношение является антисимметричным, такx, y  R x  y, y  x  x  y.

Бинарное отношение  на R такжеявляется симметричным, однако не является антисимметричным, поскольку, например, 1  2, 2  1 , однако из этого не следует, что 1  2 .Бинарные отношения «параллельности», а также «перпендикулярности»на множестве всех прямых на плоскости (или в трехмерном пространстве) являются симметричными. Напротив, указанные бинарные отношения не являются антисимметричными. Бинарное отношение «меньшеили равно» на множестве действительных чисел R является антисимметричным, так как x, y  R x  y, y  x  x  y.

Характеристики

Список файлов книги