Главная » Просмотр файлов » В.Н. Нефедов - Алгебра множеств, бинарные отношения в примерах и задачах

В.Н. Нефедов - Алгебра множеств, бинарные отношения в примерах и задачах (1013084), страница 2

Файл №1013084 В.Н. Нефедов - Алгебра множеств, бинарные отношения в примерах и задачах (В.Н. Нефедов - Алгебра множеств, бинарные отношения в примерах и задачах) 2 страницаВ.Н. Нефедов - Алгебра множеств, бинарные отношения в примерах и задачах (1013084) страница 22017-06-17СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Для любого x  U имеем: x  A  B  x  A  B  x  A, x  B  x  A, x  B  x  A  B .Докажем тождество 8. Применим тождество 8 к A, B и воспользуемся очевидным тождеством 11: A  B  A  B  A  B, а следовательно, A  B  A  B, откуда A  B  A  B, ч.и т.д.Докажем тождество 10.

Используя доказанное тождество 3, имеем:( A  B)  ( A  B )  A  ( B  B )  A    A.Докажем тождество 10. Используя доказанное тождество 3, имеем: ( A  B)  ( A  B )  A  ( B  B )  A  U  A.Докажем тождество 12. Для любого x  U имеем:x  A \ B  x  A, x  B  x  A, x  B  x  A  B .Докажем тождество 13. Используя доказанные ранее тождества,имеем:8( A  B) \ ( A  B)  ( A  B)  ( A  B)  ( A  B)  ( A  B )  ( A  A)  ( A  B )  (B  A)  (B  B )    ( A  B )  ( B  A )    ( A \ B)  ( B \ A)  A  B.Докажем теперь тождество (ассоциативность +):A  ( B  C)  ( A  B)  C.(1.1)Будем в последующих выкладках для сокращения записи вместоA  B писать AB и считать операцию  более «сильной» операцией,чем ,\, (т.е.

выполняемой в первую очередь). Имеем:A  ( B  C )  [ A \ ( B  C )]  [( B  C ) \ A]  [ A \ ( BC  CB )]  [( BC  CB ) \ A]  A( BC  CB )  ( BC  CB ) A  A( B  C )(C  B)  A BC  A B C  A( B C  CC  B B  CB) (1.2) A BC  A B C  AB C  ABC  A BC  A B C.С другой стороны, обозначив A  C, C  A и используя (1.2),имеем: ( A  B)  C  C  ( A  B)  C  ( B  A)  A  ( B  C )  AB C   ABC   A BC   A B C   C BA  CBA  C BA  C BA  A B C  ABC  A BC  AB C  A  ( B  C ).Табличный метод доказательства тождеств. Заметим, что дляпроизвольного x  U (в каждой строке, следующей за первой, указывается один из возможных случаев для x ) выполняется:xAxAнетдаданетТабл.

1.1xAxBx AB x AB x A\ BxB \ A x A B  ( A \ B)  ( B \ A)даданетнетданетданетдададанетданетнетнетнетданетнетТабл. 1.29нетнетданетнетдаданетИспользуя эти таблицы, докажем табличным методом справедливость уже доказанного тождества (1.1). Действительно, для произвольного x  U имеем:xAxBxCдадададанетнетнетнетдаданетнетдаданетнетданетданетданетданет***x  B  C x  A  (B  C)нетдаданетнетдаданетданетнетданетдаданетx  A  B x  ( A  B)  CнетнетдадададанетнетданетнетданетдаданетСравнивая столбцы, выделенные символами * и **, получаем,что x  A  ( B  C )  x  ( A  B)  C , ч. и т.д.Заметим теперь, что табл.1.1 идентична табл.

1.3 (т.е. слову «да»в табл.1.1 соответствует символ U в табл. 1.3, а слову «нет» в табл. 1.1– символ  в табл.1.3):AUAUТабл. 1.3Соответственно, табл. 1.2 идентична табл. 1.4 (в том же смысле,что и для таблиц 1.1,1.3)AUUBUUA BUUUA BUA\ BUB\ AUA BUUТабл.1.4Из идентичности приведенных таблиц следует, что справедливостьлюбого тождества можно проверить табличным методом, проверяя егосправедливость лишь при значениях символов множеств, входящих в10него, выбираемых из {U , }.

Описанный табличный метод обладаетрядом достоинств: (а) описан в виде алгоритма с простыми легко выполняемыми шагами; (б) легко программируется на ЭВМ; (в) если проверяемое тождество не верно, то при использовании табличного методаполучаем пример множеств, для которых оно не выполняется.Пример 1.9. Проверим справедливость тождества A \ ( B \ C )  A \ (C \ B). Составим соответствующую таблицу и сравним столбцыв этой таблице, выделенные символами * и **):ABCUUUUUUUUUUUUB\CUU***A \ (B \ C)A \ (C \ B)UUUC\BUUUUUИз приведенной таблицы следует, что, например, при A  U ,B  U , C   рассматриваемое равенство не выполняется.Всюду далее под формулой алгебры множеств будем интуитивнопонимать формулу f ( A1 ,..., An ) (где n  1 ) с переменными A1 ,..., An ,обозначающими произвольные множества (являющиеся подмножествами заданного универсального множества U ), в которой эти переменныесвязаны между собой с помощью скобок, двухместных операций:,,\, , а также одноместной операцией абсолютного дополнения(строгое определение формулы аналогично определению формулы логики высказываний (см., например, [2, стр.

26,27]).Пример 1.10. Примерами формул алгебры множеств являются:A1 \ ( A2  A3 ), ( A1  A2 )  ( A3 \ ( A4  A1 )) .Будем далее формулы алгебры множеств обозначать буквамиf , g , h , возможно с индексами.11Для краткости утверждение, заключающееся в том, что для некоторых формул алгебры множеств f ( A1 ,..., An ) , g ( A1 ,..., An ) выполняется равенство f ( A1 ,..., An ) = g ( A1 ,..., An ) для любых Ai  2U ,i  1,2,..., n (т.е. выполняется тождество алгебры множеств), будем записывать следующим образом: f  g .Кроме того, для краткости, утверждение, заключающееся в том,что для некоторой формулы алгебры множеств f ( A1 ,..., An ) выполняется равенство f ( A1 ,..., An )   ( f ( A1 ,..., An )  U ) для любыхAi  2U , i  1,2,..., n , будем записывать следующим образом: f  ( f  U ) .

Используя таблицы 1.3,1.4, получаем, что справедливоУтверждение 1.2. Пусть f ( A1 ,..., An ) – формула алгебры множеств. Тогда для любых Ai  {U , } , i  1,2,..., n, выполняетсяf ( A1 ,..., An )  {U , }.Сформулируем также в виде утверждения приведенный ранее табличный метод доказательства тождеств.Утверждение 1.3. Пусть f ( A1 ,..., An ) , g ( A1 ,..., An ) – формулы алгебры множеств. Тождество алгебры множеств f ( A1 ,..., An )  g ( A1 ,..., An ) справедливо тогда и только тогда, когда для любыхAi  {U , } , i  1,2,..., n, выполняется равенство f ( A1 ,..., An )  g ( A1 ,..., An ) .Следствие 1.1.

Если для некоторых формул алгебры множествf ( A1 ,..., An ) , g ( A1 ,..., An ) выполняется тождество f  g при некотором универсальном множестве U  , то это тождество будет справедливым и для любого другого универсального множества U   .Табличный метод доказательства (или опровержения) утверждений алгебры множеств. Будем использовать следующее:12Утверждение 1.4.

Пусть f ( A1 ,..., An ) , g ( A1 ,..., An ) – формулы алгебры множеств. Тогда утверждение f    g   выполняется тогда и только тогда, когда f  g.Действительно, если f  g , то f    g   . В обратнуюсторону, пусть f    g   . Тогда, в силу утверждения 1.2, Ai  {U , }, i  1,2,..., n, f  g , откуда, в силу утверждения 1.3, f  g .Утверждение 1.5.

Пусть A, B – произвольные множества. ТогдаA  B    A  , B  ,(1.3)A \ B    A  B    A  B,(1.4)A  B    A  B,(1.5)A  B    A  B.(1.6)Доказательство. Утверждение (1.3) очевидно. Докажем справедливость (1.4). Пусть A \ B   . Предположим, что не выполняетсявключение A  B . Тогда a  A : a  B, откуда a  A \ B, что противоречит условию A \ B   . Пусть теперь A  B . Предположим, чтоA \ B   .

Тогда a  A : a  B, а это противоречит условию A  B .Для доказательства (1.5) воспользуемся (1.4), а также тождеством 11:A  B    A  B    A  B . Утверждение (1.6) являетсяследствием утверждений (1.3),(1.4). Действительно, в силу (1.3),(1.4),имеем: A  B    ( A \ B)  ( B \ A)    A \ B  , B \ A    A  B, B  A  A  B.Покажем теперь, что справедливоУтверждение 1.6. Пусть f1 ( A1 ,..., An ), f 2 ( A1 ,..., An ), g1 ( A1 ,..., An ) ,g 2 ( A1 ,..., An ) – формулы алгебры множеств. Тогда утверждениеf1  f 2  g1  g 2 выполняется тогда и только тогда, когда справедливо тождество алгебры множеств f1  f 2  g1  g 2 .13Действительно, используя (1.6), а также утверждение 1.4, получаем: [ f1  f 2  g1  g 2 ]  [ f1  f 2    g1  g 2  ]  f 1  f 2  g1  g 2 .Кроме того, справедливо следующееУтверждение 1.7.

Пусть f1 ( A1 ,..., An ), f 2 ( A1 ,..., An ), g1 ( A1 ,..., An ) ,g 2 ( A1 ,..., An ) – формулы алгебры множеств. Тогда(а) [ f1  f 2  g1  g 2 ]  f1 \ f 2  g1  g 2 ;(б) [ f1  f 2  g1  g 2 ]  f1  f 2  g1 \ g 2 ;(в) [ f1  f 2  g1  g 2 ]  f1 \ f 2  g1 \ g 2 .Докажем (а) (доказательство (б), (в) аналогично). Используя утверждения 1.4, (1.4),(1.6), получаем: [ f1  f 2  g1  g 2 ]  [ f1 \ f 2    g1  g 2  ]  f1 \ f 2  g1  g 2 .Аналогичную теорию можно развить и для доказательства ряда односторонних утверждений, например, вида f1  f 2  g1  g 2 . Дляэтого воспользуемся следующим следствием утверждения 1.3.Утверждение 1.8. Пусть f ( A1 ,..., An ) – формула алгебры множеств. Тождество f   ( f  U ) справедливо тогда и только тогда,когда для любых Ai  {U , } , i  1,2,..., n, выполняется равенствоf ( A1 ,..., An )   ( f ( A1 ,..., An )  U ) .Для доказательства достаточно в утверждении 1.3 положитьg ( A1 ,..., An )  A1  A1   ( g ( A1 ,..., An )  A1  A1  U ).Покажем теперь, что справедливоУтверждение 1.9.

Пусть f ( A1 ,..., An ) , g ( A1 ,..., An ) – формулы алгебры множеств. Тогда утверждение f    g   выполняется тогда и только тогда, когда справедливо тождество g \ f  .Действительно, если справедливо утверждение f    g   ,то при Ai  {U , } , i  1,2,..., n, в силу утверждения 1.2, выполняетсяравенство g ( A1 ,..., An ) \ f ( A1 ,..., An )   , а следовательно, в силу ут14верждения 1.8 справедливо тождество g \ f  . Рассуждение в обратную сторону очевидно.Используя (1.4),(1.6), а также утверждение 1.9, нетрудно показатьсправедливость следующего утверждения.Утверждение 1.10. Пусть f1 ( A1 ,..., An ) , f 2 ( A1 ,..., An ) ,g1 ( A1 ,..., An ) , g 2 ( A1 ,..., An ) – формулы алгебры множеств.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
2,39 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6390
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее