Главная » Просмотр файлов » В.Н. Нефедов - Алгебра множеств, бинарные отношения в примерах и задачах

В.Н. Нефедов - Алгебра множеств, бинарные отношения в примерах и задачах (1013084), страница 3

Файл №1013084 В.Н. Нефедов - Алгебра множеств, бинарные отношения в примерах и задачах (В.Н. Нефедов - Алгебра множеств, бинарные отношения в примерах и задачах) 3 страницаВ.Н. Нефедов - Алгебра множеств, бинарные отношения в примерах и задачах (1013084) страница 32017-06-17СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Тогда(а) [ f1  f 2  g1  g 2 ]  ( g1  g 2 ) \ ( f1  f 2 )  ;(б) [ f1  f 2  g1  g 2 ]  ( g1 \ g 2 ) \ ( f1  f 2 )  ;(в) [ f1  f 2  g1  g 2 ]  ( g1  g 2 ) \ ( f1 \ f 2 )  ;(г) [ f1  f 2  g1  g 2 ]  ( g1 \ g 2 ) \ ( f1 \ f 2 )  .Из утверждений 1.8,1.10 следует, что для любых формул алгебрымножеств f 1 , f 2 , g1 , g 2 проверка утверждений вида: f1  f 2  g1  g 2 ; f1  f 2  g1  g 2 ; f1  f 2  g1  g 2 ; f1  f 2  g1  g 2 может быть осуществлена описанным выше табличным способом.Пример 1.11. Доказать или опровергнуть: A  B  A  C  B \ C  A . В силу утверждения 1.10, проверка этого утверждениясводится к проверке выполнения тождества f ( A, B, C )  [( B \ C ) \ A] \ [( A  B)  ( A  C)]   .

Составим таблицу для f :Используя утверждение 1.8, получаем, что f   , а следовательно, в силу утверждения 1.10, рассматриваемое утверждение верно.15Решение системы уравнений в алгебре множеств относительнонеизвестного множества X . Нам понадобится следующееУтверждение 1.11. Пусть A, B – некоторые множества, являющиеся подмножествами некоторого универсального множества U   . Тогда (а) система уравнений A  X  ,B  X  (1.7)(1.8)относительно неизвестного множества X имеет решение тогда и только тогда, когда B  A ; (б) решениями системы (1.7),(1.8) являются любые множества X такие, что B  X  A .Доказательство. (а) Пусть система (1.7),(1.8) имеет решение X .Тогда, используя (1.4), (1.5), имеем: (1.7), (1.8)  B  X , X  A  B  A.

Обратно, пусть B  A . Тогда, например, для X  B (илидля X  A ), используя (1.4), (1.5), имеем B  X  A  X  A,B  X  A  X  , B  X  , т.е. X действительно является решением системы (1.7), (1.8). (б) Пусть B  A . Тогда, как доказано в (а),существует решение системы (1.7), (1.8).

Причем, в силу (1.4), (1.5),имеем: (1.7), (1.8)  X  A, B  X  B  X  A, т.е. решениямисистемы (1.7), (1.8) являются все множества X такие, что B  X  A .Приведем теперь алгоритм решения произвольной системы уравнений в алгебре множеств относительно одного неизвестного множества X . Для сокращения записи будем, как и ранее, писать AB вместоA  B и считать  самой «сильной» двухместной операцией (т.е. выполняемой в первую очередь).Пусть f i ( A1 ,..., An , X ) , g i ( A1 ,..., An , X ) , i  1,2,..., m, – формулыалгебры множеств, где A1 ,..., An – некоторые множества, являющиесяподмножествами некоторого универсального множества U , X – неизвестное множество.

Рассмотрим систему уравнений (относительно X )(1.9)f i ( A1 ,..., An , X ) = g i ( A1 ,..., An , X ) , i  1,2,..., m .16Алгоритм 1.1 решения системы уравнений (1.9)1) Используя (1.3), (1.6), имеем: (1.9)  f1  g1  ,..., f m  g m    ( f1  g1 )  ...

 ( f m  g m )   , т.е. можно считать, что система (1.9) имеет вид: f ( A1 ,..., An , X )   , где f  ( f1  g1 )  ...  ( f m  g m ).2) «Избавляемся» в f ( A1 ,..., An , X ) от операций: \,  , используятождества: A \ B  AB , A  B  AB  BA .3) Используя законы де Моргана, приводим f ( A1 ,..., An , X ) к виду,при котором знак абсолютного дополнения может находиться тольконад символами множеств: A1 ,..., An , X (см.

замечание 1.1). Пример:f ( A1 ,..., An , X )  A1 ( A2  X ) X  A3 X  A4 X  ( A4 X  A5 ) A5 .4) Используя дистрибутивность  относительно  , приводимf ( A1 ,..., An , X ) к виду «объединение пересечений» (аналогичному алгебраическому многочлену, где роль умножения играет  , а роль сложения –  ). Пример (продолжение примера на шаге 3 алгоритма; см.также замечание 1.1):f ( A1 ,..., An , X )  A1 A2 X  A3 X  A4 X  A4 A5 X  A5 .5) Группируем члены в f ( A1 ,..., An , X ), образуя 3 группы:« без X », « с X », « с X ». Во второй группе выносим X за скобки, втретьей выносим за скобки X :f ( A1 ,..., An , X )  h1 ( A1 ,..., An )  h2 ( A1 ,..., An ) X  h3 ( A1 ,..., An ) X .Пример (продолжение примера на шаге 4 алгоритма):f ( A1 ,..., An , X )  A5  ( A1 A2  A3  A4 A5 ) X  A4 X . h1  ,6) Используя (1.3), получаем: f    h2  X  ,h  X  , 3откуда, в силу утверждения 1.11, необходимым и достаточным ус17ловием существования решения системы уравнений (1.9) являетсяh1   , h3  h2 ,(1.10)и в случае выполнения (1.10) решениями системы уравнений (1.9) являются все множества X , удовлетворяющие условию: h3  X  h2 .Замечание 1.1.

На шаге 3 алгоритма используется также тождествоA  A , а на шаге 4 – тождества: A  A  A, A  A  A , A  A   ,A    , A    A .Замечание 1.2. Описанный алгоритм может быть применен и ксистеме уравнений относительно многих неизвестных X 1 ,..., X k . Приэтом производится последовательное исключение неизвестных.Замечание 1.3.

Система (1.9) может также иметь иной вид (свключениями вместо равенств):(1.11)f i ( A1 ,..., An , X )  g i ( A1 ,..., An , X ) , i  1,2,..., m .В этом случае модифицируется шаг 1 алгоритма, а именно, используя (1.3),(1.4), имеем: (1.11)  f1 \ g1  ,..., f m \ g m    ( f1 \ g1 )  ...  ( f m \ g m )   , т.е. система (1.11) сводится к единственному уравнению f ( A1 ,..., An , X )   , где f  ( f1 \ g1 )  ...  ( f m \ g m ).Используя (1.3), (1.4), (1.6), нетрудно также модифицировать шаг 1алгоритма и в случае, когда в рассматриваемую систему входит конечное число равенств и конечное число включений.Пример 1.12.

Пусть A, B – заданные множества, являющиеся подмножествами некоторого универсального множества U . Найти необходимое и достаточное условие для X (вида g ( A, B)  X  f ( A, B) ,где g ( A, B), f ( A, B) – формулы алгебры множеств), если X  A  X  B . Последовательно применяя шаги 1–6 алгоритма 1.1, и, используя (1.4), получаем:X  A  X  B  ( X  A)  ( X  B)    [( X  A) \ ( X  B)]  [( X  B) \ ( X  A)]   18 ( X  A)( X  B)  ( X  B)( X  A)    ( X  A) X B  ( X  B) X A    X X B AX B X X AB X A  A X B  B X A    ( AB  BA ) X    ( A  B) X    ( A  B)  X .Пример 1.13.

Пусть A, B, C – заданные множества, являющиесяподмножествами некоторого универсального множества U . Решитьсистему уравнений относительно неизвестного множества X : A  X  B, A  X  C.(1.12)Последовательно применяя шаги 1–6 алгоритма 1.1, получаем:(1.12)  ( AX  B)  [( A  X )  C]    ( AX \ B)  ( B \ AX )  [( A  X ) \ C ]  [C \ ( A  X )]    AXB  B( A  X )  ( A  X )C  CA X    AXB  BA  BX  AC  XC  CA X    ( A B  AC )  ( AB  C ) X  ( B  A C ) X    A B  AC  , ( AB  C )  X  , ( B  A C )  X  .В силу утверждений 1.11, (1.3), (1.4), необходимым и достаточнымусловием существования решения этой системы, равносильной (1.12),являетсяA B  AC   , B  A C  AB  C  A B  , AC  , B  A C  ( A  B)C  B  A  C, B  A C  BC  A C  B  A  C,так как, в случае B  C , выполняется BC  B, BC  A C  B  A C .В силу утверждения 1.11, единственным решением этой системы вслучае B  A  C является X  B  A C .19ЗадачиЗадача 1.1.

Используя основные тождества алгебры множеств, доказать тождества: (а) A \ ( B \ C )  ( A \ B)  ( A  C ) ; (б)( A \ B) \ C  ( A \ C ) \ ( B \ C ) ; (в) A \ ( B  C)  ( A \ B) \ C .Решение. (а) A \ ( B \ C )  A \ ( B  C )  A  ( B  C )  A  ( B  C )  ( A  B )  ( A  C )  ( A \ B)  ( A  C ) ;(б) ( A \ C ) \ ( B \ C )  ( A  C )  ( B  C )  ( A  C )  ( B  C)  ( A  C  B )  ( A  C  C)  ( A  B  C )    ( A  B )  C  ( A \ B) \ C ; (в) A \ ( B  C )  A  ( B  C )  A  ( B  C )  ( A  B )  C  ( A \ B) \ C .Задача 1.2. Используя основные тождества алгебры множеств, атакже утверждения (1.4), (1.5), доказать утверждения: (а) A  B C   A  B  C ; (б) A  B  C  A \ B  C .Решение.

(а) A  B  C  ( A  B) \ C    ( A  B)  C    A  (B  C )    A  B  C  B  C ;(б) A  B  C  A \ ( B  C )    A  ( B  C )    A  ( B  C )    ( A  B )  C    ( A \ B) \ C    A\ B  C.Задача 1.3. Доказать, что A  B    A  B  A  B .Решение. Используя тождество 13, имеем A  B  A  B , откуда( A  B) \ ( A  B)   , а следовательно, A  B  A  B  ( A  B)  ( A  B)    ( A  B) \ ( A  B)    ( A  B) \ [( A \ B)  ( B \ A)]  ( A  B)( AB  BA )    ( A  B)( A  B)( A  B )  ( A  B)( A B  AB)  AA B  AAB  BA B  BAB  AB   ;Задача 1.4.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
2,39 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6353
Авторов
на СтудИзбе
311
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее