Главная » Просмотр файлов » Практический курс физики. Молекулярная физика и термодинамика

Практический курс физики. Молекулярная физика и термодинамика (1012844), страница 14

Файл №1012844 Практический курс физики. Молекулярная физика и термодинамика (Практический курс физики. Молекулярная физика и термодинамика) 14 страницаПрактический курс физики. Молекулярная физика и термодинамика (1012844) страница 142017-06-17СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

Из распределения Максвелла по модулю скорости имеемN1N244m02 kTm02 kT3232m0 v1e2kTm0 v2e22kTv12v1 ,2v22v2 ,7799 101499 501100 м c ; v2500 м с .22NA , а kNA R , получаем отношение числагде v1 = v2 = 2 м/с; v1Учитывая, что m0молекулv1N1N2v222exp2RT2( v22v1 )Вычисляем (T = 273 K):N1N2(100 )2(500 )28 10 3exp((500 )22 8,31 2732то есть число молекул со скоростями 499 v2число молекул со скоростями 99 v1 101 м/c.(100 )2 )0,176 ,501 м/c больше, чемЗадача 4.3 Найти относительное число молекул N N идеальногогаза, скорости которых отличаются не более чем на= 1% отзначения средней квадратичной скорости.

Какова вероятность w того,что скорость молекулы газа лежит в указанном интервале?Решениеv 2 v cр.kв.Рассматриваемый интервал скоростеймал,следовательно проводим расчет по функции распределенияМаксвелла с учетом (4.22)3m0 v2cp.kвm0N4e 2kTv 2cp.kв. 2 v cp.kв.N2 kTИспользуя выражение (4.20) для средней квадратичной скоростиv cp.k‰.3kT m 0 , имеемNN4m02 kT32e3233kTm022283232e32ОкончательноNN8 10 2 32314,32e32185,102Согласно (4.38)wNN185,102185%,Задача 4.4 Водород при нормальных условиях занимает объемV = 1 cм3. Определить число молекул N, обладающих скоростямименьше некоторой vmax = 1 м/c. Молярная масса водорода= 2 10–3 кг/моль.78РешениеДля нахождения числа частиц в произвольном интервалескоростей нужно перейти к безразмерной скорости u = v/vB ирассчитать интеграл (4.25)Nu24Nu2 eu2du .u1Значение наиболее вероятной скорости для водорода принормальных условиях (Т = 273 К):vв2RT2 8,31 2731500 м с ,2 10 3следовательно, величина безразмерной скорости u = v/vB будетизменяться в пределах от u1 = v1/vB = 0 (так как v1 = 0) доu2 vmax vв 1 15001.Так как безразмерная скорость мала, то для вычисления числамолекул в этом интервале можно воспользоваться формулой (4.26)4Nu324N 33N( v )(u 2 u1 )33Общее число молекул водорода в объеме VN n VPV,kTтогда окончательное выражение для расчетаN43PVu 32kT4 10 5 10361,38 10(1 1500 )3232735,9 10 9 .Задача 4.5 Какая часть от общего числа молекул идеального газаимеет скорости а) меньше наиболее вероятной; б) больше наиболеевероятной?Решениеv1Относительное число молекул, имеющих скорости в интервалеv v2, можно найти по формуле (4.25)NN4u2u2 eu2du ,u1где u = v/vB и, соответственно, u1 = v1/vB; u2 = v2/vB.а) Скорости молекул лежат в диапазоне 0 v vB, значит,пределы интегрирования u1 = 0 и u2 = 1.

Тогда c помощью интегралаошибок в соответствии с (4.29) находимN2u2(u2 )u2 e 2 .N79Из Таблицы 2 (см. Приложения) возьмем значение Ф(u2 = 1) = 0,8427 ивыполним расчетNN20,84271e120,84270,43 .eб) Во втором случае диапазон изменения скорости vB vи,значит, пределы интегрирования в (4.25) u1 = 1 и u2 = . В этом случаесогласно формуле (4.30)N221u21(u1 )u1 e 1 1 0,84270,57.N3,14 eЗадача 4.6 Найти относительное число молекул идеального газа,кинетическая энергия которых отличаются от наиболее вероятногозначения энергии Ев не более, чем на = 1%.РешениеРассматриваемый интервал энергий E 2 Eв мал, следовательнопроводим расчет по функции распределения Максвелла (4.15)2 Ef (E)(kT )3eEkT .Согласно (4.22), учитывая, что Е = Ев, имеем2 E‰NN(kT )3eE‰kT4 E‰2 E‰32(kT )3 2eE‰kT.Найдем наиболее вероятное значение энергии, исследуя f(E) наэкстремум f E E 02(kT )31e2 EEkTE eEkT1kT0EBkT.2Подставляем Ев и находим относительное число частицNN4 (kT 2)3 2(kT )32ekT2kT2e122 10 23,14 e 24,8 103Задача 4.7 В сосуде находится m = 8 г кислорода притемпературеТ = 1600 К.Молярнаямассакислорода332 10 кг/моль.

Какое число молекул N имеет кинетическуюэнергию поступательного движения, превышающую Е0 = 2 10–19 Дж?РешениеВоспользуемся соотношением (4.32) для расчета числа молекул взаданном интервале энергий Е0 Е.80N2Nt2t e t dt ,t1где t 1 E0 kT , t2 = .Оценим величину2 10 19138,10 23 1600Тогда в соответствии с (4.37)2NNt1 e t1 .t1E0kT9,05 .Найдем общее число молекул кислородаNmNA38 1036,02 10 231,5 10 23 .32 10Тогда число молекул с кинетической энергией большей Е0N2 15, 1023314,9,05 e9,056 1019Задача 4.8 Пылинки массой m = 10–18 г взвешены в воздухе.Определить толщину слоя воздуха, в пределах которогоконцентрация пылинок различается не более чем на= 1%.Температура воздуха во всем объеме постоянна и равна Т = 300 К.Выталкивающей силой Архимеда пренебречь.РешениеПри равновесном распределении пылинок их концентрациязависит только от вертикальной координаты z и описываетсяфункцией распределения Больцмана (4.43)n( z )n0 emgzkT .Продифференцировав выражение по z, получимmgdnn0ekTОткуда изменение координатыdzmgzkTdzmgzn dz .kTkT dn,mg nзнакпоказывает, что с увеличением высоты концентрация уменьшается.По условию задачи изменение концентрации частиц n с высотоймало по сравнению с самой концентрацией n, поэтому можноприближенно заменить дифференциал dn на конечное приращениеn.

Тогда толщина слоя воздуха с учетом того, что по условию n/n = ,81zkTmgnn1,38 10 23 3000,0110 21 9,81kTmg4,22 мм .Задача 4.9 Определить силу, действующую на частицу,находящуюся во внешнем однородном поле тяготения, еслиотношение концентраций частиц n1/n2 на двух уровнях, отстоящихдруг от друга на z = 1 м, равно е. Температуру считать постоянной иравной Т = 300 К.РешениеПри равновесном распределении частиц во внешнем однородномполе тяготения зависимость концентрации частиц от высоты(вертикальная ось z) определяется распределением Больцмана(4.43).

Для двух указанных в условии уровнейn1n( z1 )n(0) eа их отношение по условиюn1expn2U( z1 )kT; n2n( z 2 )U( z1 ) U( z 2 )kTn(0) eU( z2 )kT,e.Логарифмируя это выражение, получимlnn1n2U( z1 ) U( z 2 )kT1U.kTУчитывая, что в одномерном поле согласно (4.42), U =получим, чтоk T 1,38 10 23 300k T F zF4,14 10z1F z,21HЗадача 4.10 Идеальный газ находится в бесконечно высокомвертикальном цилиндрическом сосуде при температуре Т. Считаяполе сил тяжести однородным, найти: 1) среднее значениепотенциальной энергии U молекул газа; 2) как изменится давлениегаза на дно сосуда, если температуру газа увеличить в раз.Решение1) При равновесном распределении молекул в однородном полесилы тяжести функция распределения Больцмана (4.40)f (U)B eUkT ,где В некоторая постоянная, U потенциальная энергия в полесилы тяжести.

kT тепловая энергия частиц при данной температуре.Для нахождения среднего значения потенциальной энергии черезфункцию распределения воспользуемся формулой (4.4)82UkTU B edUU e0UUkTdU.0B eUkTdUe0UkTdU0Вычислим записанные интегралы с помощью Таблицы 1:UeUkTdUxxe01dx20eUkTdUxe01dx, где1kTUe0k 2T 201kT, гдеUkT dUeUkTdUkT .0Тогда получаемk 2T2kTUkT .2. Воднородномполесилтяжестипотенциальнаяэнергия U m g z (где уровень z = 0 соответствует дну сосуда).Запишем закон Больцмана в виде (4.43)n( z)n(0) emogzkT.Числочастицвэлементарномцилиндрического сосуда dV = S dzdN( z)n( z) dVобъемеn(0) emogzkTвертикальногоS dz ,где n(0) P(0) kT .Полное число частиц в бесконечно высоком вертикальномцилиндрическом сосуде при постоянной температуре Т1N1dN0n(0) eS dz0Делая замену переменнойm0 gxz ; dxkT1получаемN1mogzkTmo gdzkT1P1(0)SkT1e x dxkT1m0 g0P1(0) SekT1 0kT1dx ,mo gdzP1(0)Sem0 gmogzkT dz .x0P1(0)S.m0 gАналогично рассчитывается число частиц N2 при температуре Т2P2 (0)SN2.m0 g,83Для бесконечно высокого сосуда полное число частиц должно бытьодинаковым, т.е.

N1 = N2. Следовательно, давление на дно сосудапри изменении температуры не меняется P1(0) = P2(0).Задача 4.11 Ротор центрифуги вращается с угловой скоростью . Используяфункцию распределения Больцмана, установить распределение концентрацииn для частиц массой m, находящихся на расстоянии r от оси вращения.РешениеФункция распределения концентрации частиц в одномерном полесогласно (4.41)U(r )n(r ) n(0) exp,kTгде U(r) потенциальная энергия частиц в силовом поле.При вращении центрифуги с угловой скоростьюна каждуючастицу, находящуюся на расстоянии r от оси вращения действуетцентробежная сила F(r ) m 2 r , а связь между силой ипотенциальной энергией задается формулой (4.42) U(F r ) .Тогда можно получить потенциальную энергиюU(r )Fr dr2mr drm2r22C.Положим, что при r = 0, U(r) = 0 и, следовательно, константа С = 0.Таким образом, потенциальная энергия записываетсяU(r )m2r22.Подставляя энергию в распределение концентрации, получаемфункцию расстояния от оси вращенияn(r )n 0 expm22kTr2.Задачи для самостоятельного решения4.12 Вычислитьсреднююарифметическуюисреднююквадратичную скорости молекул идеального газа, у которого принормальном атмосферном давлении плотность = 1 г/л.4.13 Вычислить наиболее вероятную скорость молекул идеального газа,у которого при нормальном атмосферном давлении плотность = 1 г/л.4.14 Найти среднюю арифметическую, среднюю квадратичную инаиболее вероятную скорости молекул идеального газа, у которогопри давлении Р = 300 мм.рт.ст плотность = 0,3 кг/м3.4.15 Определить температуру водорода, при которой средняяквадратичная скорость молекул больше их наиболее вероятной84скорости на v = 400 м/с.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
3,85 Mb
Тип материала
Предмет
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6420
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее