rpd000010447 (1012440), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

в) увеличить число причалов на 1 при постоянных λ и μ и повторить пп. а) и б);

г) повторять пп. а) - г) до тех пор, пока число причалов не будет равным 15;

д) сделать выводы из полученных результатов и построенного графика С_п=f(n).

ВАРИАНТ№ 1

ВАРИАНТ№2

ВАРИАНТ№ 3

ВАРИАНТ№4

ВАРИАНТ№5

ВАРИАНТ№6

ВАРИАНТ№7

ВАРИАНТ№8

ВАРИАНТ№9

Задача№3

Рассмотрим функционирование автоматической телефонной станции (АТС), имеющей n линий связи. Поток заявок (требования на ведение разговоров) будем считать простейшим с параметром . Продолжительность каждого разговора является случайной величиной, среднее время разговора ― t_отк, а интенсивность потока обслуживания: .

В определенный момент эксплуатации АТС перед руководством станции возникает задача модернизации АТС так, чтобы вероятность отказа в обслуживании Р_отк уменьшилось до 0.01.

Станцию можно модернизировать либо за счет увеличения числа каналов n, либо за счет увеличения производительности существующих линий связи (увеличение интенсивности обслуживания μ), либо путем комбинирования обоих этих способов.

Каждый из способов модернизации АТС требует определенных затрат. Необходимо выбрать такой способ модернизации АТС, при котором затраты на модернизацию были бы наименьшими.

Для решения задачи необходимо:

а) если условие P_отк<0.01 при заданных n, λ и μ не выполняется, то при неизменных n и λ увеличить μ;

б) выполнять пункт а) до тех пор пока условие P_отк<0.01 не будет выполняться;

в) после этого при неизменном λ увеличить n на 1 и повторить пункты "а"-"б" для нового значения n;

г) выполнять пункт "в" несколько раз до тех пор, пока условие P_отк<0.01 не будет выполняться для начального значения μ;

д) определить минимальную стоимость и наилучший вариант модернизации.

Вариант№1

Вариант№2

Вариант№3

ВАРИАНТ№4

ТЕОРИЯ К ЗАДАЧЕ №1

ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ

1. Цели работы

Целями работы являются: 1) изучение метода дисперсионного анализа с целью установления влияния факторов (входных величин) на отклик системы; 2) исследование вопросов применимости метода дисперсионного анализа для решения конкретных статистических задач.

2. Содержание работы

• изучить процедуру дисперсионного анализа;

• ответить на вопросы теста;

• с использованием ЭВМ решить конкретные задачи однофакторного дисперсионного анализа;

• получить результаты и составить отчет по работе.

3. Постановка задачи дисперсионного анализа

Во многих областях практической деятельности встречаются процессы, состояния которых зависят от входных переменных (факторов) не имеющих количественного описания. Для изучения влияния факторов на выходную функцию (отклик), их общего оценивания, ранжирования и выделения среди них существенных используется подход, получивший название дисперсионный анализ. Идея подхода заключается в изучении влияния факторов по величинам дисперсии выходной величины (отклика).

Дисперсионный анализ состоит в выделении и оценке отдельных факторов, вызывающих изменчивость значений функций отклика. С этой целью производится разложение дисперсии наблюденных значений отклика на составляющие, порождаемые независимыми факторами.

Рассмотрим постановку задачи дисперсионного анализа в общем виде. Выходная переменная Y может зависеть (по физическим причинам) от n независимых факторов (x₁,x₂,…,x_n), при том факторы не всегда имеют количественное описание. Каждый фактор может варьироваться на m уровнях. Каждая строка с индексом j содержит m наблюдений выходной переменной Y.

Требуется определить, в какой мере существенно на фоне случайных погрешностей, влияние того или иного фактора x_i на отклик Y, провести сравнение с другими факторами и выделить наиболее существенные из них.

4. Допущения, на которых базируется дисперсионный анализ

Наблюдения переменной Y - есть нормально распределенные случайные величины с математическим ожиданием M[Y]=m_y. Дисперсия единичного наблюдения обусловлена случайными ошибками ε, постоянна во всех опытах и на всех уровнях факторов x_i .

5. Идея дисперсионного анализа

Чтобы иметь возможность оценивать влияние каждого фактора на переменную Y и сравнивать влияние различных факторов следует установить некоторый количественный показатель этого влияния. Рассмотрим идею дисперсионного анализа на примере изучения влияния одного фактора X на m уровнях, получим значения отклика y₁,y₂,…,y_n, рассеяние которых можно характеризовать выборочной дисперсией , где . Число степеней свободы есть ν₀=m-1. Если отличие от незначимо, то разброс наблюдений, который она характеризует, связан только со случайными причинами и влияние фактора X несущественно. Если же отличие от значительно, то повышенный разброс наблюдений вызывается не только случайными причинами, но и влиянием фактора X, которое следует признать существенным.

Так как в последнем случае складывается влияние по крайней мере двух факторов: 1) случайных причин с дисперсией ; 2) фактора X с дисперсией , что приводит к общему рассеянию наблюдений, то их общая дисперсия является суммой , а ее оценка:

Откуда дисперсия фактора X определяется выражением:

В общем случае дисперсия ошибок неизвестна, поэтому схема дисперсионного анализа должна быть такой, чтобы позволяла определить ее наряду с оценкой дисперсии фактора X. С этой целью планируется проведение серии параллельных опытов на каждом из всех возможных сочетаний уровней факторов. Таким образом, основная идея дисперсионного анализа заключается в разложении оценки общего рассеяния на составляющие, зависящие от: 1) случайных причин; 2) от каждого из рассматриваемых факторов.

6. Алгоритм решения задачи

Рассмотрим процедуру однофакторного дисперсионного анализа. Пусть фактор X варьируется на n уровнях. Результаты можно представить в виде следующей таблицы:

	1	2	…	p
1	y11	y12	…	y1p
2	y21	y22	…	y2p
…	…	…	…	…	…
N	yn1	yn2	…	ynp

Не нарушая общности выводов, рассмотрим случай равночисленных серий наблюдений на всех уровнях , т.е p_i=p.

Рассеяние между столбцами обусловлено ошибкой воспроизводимости, а рассеяние между строчками – действием изучаемого фактора X. Вычислим среднее арифметическое серий из p наблюдений для каждого i-го уровня фактора с помощью соотношения вида:

Общее среднее арифметическое всех n×p наблюдений по всем уравнениям вычисляется следующим образом:

Рассеяние отдельных наблюдений относительно общего среднего обусловлено действием как случайных причин, так и влиянием фактора X. Действие фактора случайности проявляется в рассеянии (с дисперсией ) наблюдений серий параллельных исследований на каждом уровне x_i вокруг среднего арифметического своей серии. Влияние же фактора X (с дисперсией ) вызывает повышенное рассеяние средних арифметических относительно общего среднего . Каждое из этих трех рассеяний можно охарактеризовать соответствующей суммой квадратов отклонений. В соответствии с основной идеей дисперсионного анализа разложим общую сумму квадратов отклонений y_ij от общего среднего на две составляющие, одна из которых характеризует влияние фактора случайности, а другая – фактора изменчивости:

Оценки дисперсий: Предположим, что влияние фактора Х на отклик отсутствует, т.е. гипотеза Н₀ об однородности , верна. Тогда все n серий параллельных наблюдений можно рассматривать как случайные выборки одной и той же генеральной совокупности и, следовательно:

1) Несмещенная общая оценка дисперсии воспроизводимости по всем n×p наблюдениям определяется выражением:

с числом степеней свободы ;

2) выборочная дисперсия рассеивания «внутри серий» или остаточная оценка дисперсии воспроизводимости , находится как среднее из выборочных дисперсии по каждой серии в отдельности:

с числом степеней свободы ;

3) выборочная дисперсия средних по сериям служит несмещенной оценкой дисперсии с которой нормально распределены независимые друг от друга средние i-ых серий:

с числом степеней свободы . Отсюда нетрудно получить третью оценку воспроизводимости, выборочную дисперсию рассеивания «между сериями»:

с числом степеней свободы . Подсчет чисел степеней свободы проверяется с помощью соотношения .

Из сказанного очевидно, что при отсутствии влияния фактора Х оценки однородны, так как являются оценками одной и той же генеральной дисперсии.

Предположим теперь, что влияние фактора Х на отклик существенно, т.е. гипотеза Н₀ об однородности , неверна. Тогда n серий наблюдений можно рассматривать как случайные выборки независимых нормально распределенных случайных величин с одной и той же дисперсией воспроизводимости и различными генеральными средними m₁,m₂,…,m_n и, следовательно:

Характеристики

Список файлов учебной работы