rpd000003181 (1012244), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

.

Решение задач безусловной оптимизации достигается на основе использования необходимых условий экстремума, реализация которых приводит в конечном итоге системе нелинейных алгебраических уравнений относительно неизвестных .

Задача математического программирования в общей постановке формулируется следующим образом: необходимо найти такой вектор с компонентами из некоторого допустимого множества , задаваемого в виде ограничений

,

который минимизирует (или максимизирует) скалярную целевую функцию

.

В зависимости от вида функций , среди задач математического программирования выделяют некоторые типы задач, для которых известны специальные методы их решения.

Задачи линейного программирования (ЗЛП) возникают тогда, когда функции , являются линейными по . Общая постановка задачи линейного программирования формулируется следующим образом: необходимо найти вектор , доставляющий минимум (или максимум) целевой функции

при ограничениях

.

В векторной записи задача линейного программирования выглядит следующим образом:

,

где , - векторы размера ;

- матрица размера с элементами ; -вектор размера , .

В основе большинства процедур, обеспечивающих решение ЗЛП, лежит так называемый, симплекс-метод.

Задачи квадратического программирования характеризуются квадратичной зависимостью целевой функции и линейной зависимостью ограничений по . То есть имеет место следующая задача:

,

В векторной записи:

где векторы , , матрица определяются так же, как и в ЗЛП, - матрица размера с элементами .

Для решения задач такого типа разработаны специальные методы, базирующиеся в основном на теореме Куна-Такера.

Задачи с сепарабельными (аддитивными) целевыми функциями и линейными ограничениями характеризуются тем, что целевая функция может быть представлена в виде суммы функций, зависящих лишь от одной переменной. Таким образом имеет место следующая задача оптимизации: необходимо определить набор регулируемых переменных , доставляющих экстремум целевой функции вида

при ограничениях

Такого рода задачи часто встречаются при оптимально распределении различных ресурсов. Для решения подобных задач главным образом применяется метод динамического программирования. Иногда используются методы, основанные на переходе от исходной задачи к некоторой приближенной эквивалентной задаче линейного программирования.

Задачи целочисленного программирования характеризуются тем, что дополнительным условием в задаче является требование целочисленности всех переменных . Для решения подобных задач используются разностные методы, метод динамического программирования.

Задачи нелинейного программирования – задачи математического программирования, в которых либо целевая функция , либо функции, задающие ограничения представляют собой нелинейные зависимости регулируемых переменных. Таким образом, все ранее упомянутые специальные типы задач являются частными случаями общей задачи нелинейного программирования.

В зависимости от наличия или отсутствия неопределенных факторов в процессе поиска оптимального решения различают следующие группы задач оптимизации:

1) детерминированные задачи, возникающие тогда, когда целевая функция определяется только значениями регулируемых переменных и не подвержена влиянию неопределенных факторов. Все рассмотренные ранее задачи оптимизации относятся к классу детерминированных задач;

2) стохастические задачи, отличаются тем, что на значение целевой функции кроме регулируемых переменных, допускающих их целенаправленное изменение влияние оказывают неконтролируемые факторы случайной природы. То есть целевая функция описывается зависимостью вида , где - вектор случайных факторов размера . Поскольку в этом случае целевая функция зависит от случайного вектора , она также является случайной величиной, а значит, непосредственное решение задачи оптимизации на основе применения условий экстремума (минимума или максимума) в подобной ситуации невозможно. Наиболее очевидный способ решения – замена исходной задачи детерминированной задачей оптимизации, в которой в качестве целевой функции используется какая-либо неслучайная характеристика исходной целевой функции :

,

,

где M[ ], D[ ] – соответственно операции вычисления математического ожидания и дисперсии.

3) минимаксные задачи оптимизации, отличающиеся от стохастических тем, что неконтролируемые факторы являются неопределенными, то есть их статистические свойства неизвестны, а известно лишь некоторое множество , которому эти факторы принадлежат . В этом случае оптимальное решение принимается из предположения о наихудшем влиянии неконтролируемых факторов на целевую функцию. Предположим, например, что исходная задача оптимизации формулируется как задача минимизации целевой функции.

.

Тогда, оптимальные значения регулируемых переменных в условиях неопределенности, порождаемой неконтролируемым фактором логично выбирать из предположения о наихудшем влиянии этих неконтролируемых факторов на значение целевой функции. Это порождает следующую минимаксную задачу оптимизации

.

Динамические задачи оптимизации (вариационные задачи).

Как указывалось ранее динамические задачи оптимизации (вариационные), возникают тогда, когда переменные, описывающие состояния управляемого объекта (переменные состояния) и переменные, за счет выбора которых достигается то ли иное качество решения (переменные управления), зависят от времени.

В зависимости от вида модели, описывающей процесс функционирования динамической системы различают непрерывные и дискретные постановки задач оптимального управления.

Непрерывные задачи оптимального управления динамическими системами. В зависимости от того, учитывается или нет влияние случайных факторов на функционирования динамической системы различают:

- детерминированные непрерывные задачи оптимального управления, не учитывающие влияние случайных возмущений на процесс функционирования динамической системы;

- стохастические непрерывные задачи оптимального управления, позволяющие учесть влияние случайных факторов в процессе функционирования динамической системы.

Детерминированные непрерывные задачи оптимального управления динамическими системами. Предполагается, что состояние некоторой динамической системы в процессе ее функционирования в каждый момент времени представлено вектором состояния , изменение которого во времени описывается системой дифференциальных уравнений следующего вида:

,

где - вектор управления, за счет выбора значений которого достигается изменение состояния системы . Поведение динамической системы рассматривается на ограниченном интервале времени . Целью решения динамических задач оптимизации является отыскание наилучшего в некотором смысле управления . Для количественного сопоставления различных вариантов управления на интервале функционирования вводится функционал качества управления:

,

где - скалярная функция, количественно выражающая тот выигрыш (или потери), которые возникают на некотором шаге управления в результате использования управления ;

- скалярная функция количественно выражающая качество управления с точки зрения обеспечения требуемого конечного (терминального) состояния системы в конечный момент времени .

В зависимости от вида искомого управления различают:

1) задачи программирования оптимального управления, предполагающие отыскание управления как функции времени , доставляющего экстремум (минимум или максимум) функционалу качества . Для рения задач программирования оптимального управления используется принцип максимума Понтрягина.

2) задачи синтеза оптимального управления, целью которых является отыскание закона управления, то есть зависимости управления от вектора состояния объекта управления . То есть управление в этом случае выбирается в зависимости от текущего состояния. Для решения задач синтеза оптимального управления наиболее широко применяется принцип оптимальности Беллмана.

Стохастические непрерывные задачи оптимального управления динамическими системами. По прежнему, считаем, что состояние некоторой динамической системы в процессе ее функционирования в каждый момент времени представлено вектором состояния , изменение которого во времени описывается системой дифференциальных уравнений следующего вида:

,

где - вектор управления, за счет выбора значений которого достигается изменение состояния системы ; - вектор случайных возмущений, статистические характеристики которого обычно предполагаются известными. . Поведение динамической системы по-прежнему рассматривается на ограниченном интервале времени . Проблема решения стохастической задачи непрерывного оптимального управления состоит в том, что непосредственное использование для поиска оптимального управления из условия экстремума исходного функционала качества вида

невозможно, так как функционал , будучи функцией случайного вектора , является случайной величиной, к которой не применимы понятия максимума и минимума. Наиболее очевидный выход использование вместо функционала его неслучайной детерминированной характеристики, например математического ожидания:

Характеристики

Список файлов учебной работы