rpd000003181 (1012244), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Имеем:

По индукции получаем:

Решив это уравнение находим:

С учетом этого выражение для оптимального управления принимает вид:

Неизвестный параметр  определим из условия

Разрешив полученное алгебраическое квадратное уравнение относительно неизвестного  найдем оптимальное управление, удовлетворяющее энергетическим ограничениям.

ПЗ3.doc

Практическое занятие 3. Оптимальное управление летательным аппаратом при выведении.

Рассмотрим задачу выведения летательного аппарата в заданную точку круговой орбиты с радиусом

,

где - гравитационная постоянная Земли; - угловая скорость обращения ЛА на круговой орбите , - период обращения.

Предполагается, что ЛА снабжен двигательной установкой, способной создавать управляющее ускорение в направлении трансверсали к траектории. В качестве уравнений движения примем уравнения в полярной системе координат

,

где - полярные координаты, выражающие соответственно длину радиуса-вектора из центра Земли до центра масс ЛА и угловое положение ЛА на орбите.

Полагая, что отклонения

малы, линеаризуем приведенные выше уравнения движения ЛА в окрестности параметров заданной круговой орбиты.

В качестве примера рассмотрим линеаризацию первого уравнения. Необходимо иметь ввиду, что для круговой орбиты . Тогда первое уравнение, записанное для параметров круговой орбиты примет вид

Для возмущенного движения имеем

,

или

В первом слагаемом учтем только члены первого порядка малости

Раскроем операцию возведения в степень во втором слагаемом

В последнем выражении пренебрегаем членами второго и третьего порядка малости

В результате имеем

.

Поскольку для круговой орбиты

,

получаем

Аналогичным образом проводится линеаризация второго уравнения, в результате чего имеем систему линейных дифференциальных уравнений в отклонениях:

Введем матрично-векторные обозначения

Тогда линеаризованные уравнения движения ЛА можно представить в виде

Начальное состояние ЛА будем полагать заданным . Конечное состояние с учетом проведенной линеаризации определяется как . В качестве критерия оптимальности примем энергетические затраты на маневрирование, то есть:

Заметим, что при использовании реактивного двигателя, минимизация вышеприведенного критерия эквивалентна минимизации расхода топлива в процессе орбитального маневрирования ЛА.

Таким образом, имеем задачу выбора такого управления , которое обеспечивает перевод ЛА из заданного начального состояния в заданное конечное состояние при минимальном значении критерия.

Для решения задачи воспользуемся необходимым условием оптимальности. Запишем гамильтониан:

Структуру оптимального управления в соответствии с принципом максимума определим из условия минимума гамильтониана:

Каноническая система уравнений в данном случае имеет вид:

Краевые условия: , .

Таким образом, мы пришли к краевой задаче для системы линейных дифференциальных уравнений. Решение этой системы может быть получено с помощью фундаментальной матрицы.

Введем блочный вектор

и блочную матрицу

Тогда каноническую систему можно записать как:

Имеем однородную систему линейных дифференциальных уравнений, решение которой может быть получено с использованием фундаментальной матрицы . Фундаментальная матрица удовлетворяет следующей системе дифференциальных уравнений:

,

где -единичная матрица. Тогда общее решение системы может быть записано в виде:

Учитывая структуру блочного вектора, имеем

,

где - блоки фундаментальной матрицы. Будем считать, что начальный момент времени , а конечный . Тогда получим

Отсюда

Подставляя это выражение в зависимости , получим

Тогда искомая программа управления примет следующий завершенный вид:

ПЗ2.doc

Практическое занятие 2. Пример решения задачи об оптимальном по быстродействию управлении линейной динамической системой с постоянными коэффициентами .

Рассмотрим линейную динамическую систему, которая описывается моделью следующего вида:

,

где - компоненты вектора состояния (фазовые переменные) системы, - скалярное управление. На управление наложены ограничения . Требуется перевести систему из заданного начального состояния в конечное за минимальное время. То есть критерий оптимальности в данном случае

,

Для решения задачи воспользуемся необходимыми условиями оптимальности. Прежде всего составим гамильтониан.

Оптимальное управление ищем из условия максимума гамильтониана. Поскольку функция линейна по управлению, структура оптимального управления задается условием

,

то есть

Если имеет место вырожденная задача, которая не может быть решена с помощью принципа максимума. Запишем каноническую систему дифференциальных уравнений

Отсюда находим решение для компонент , сопряженного вектора

,

.

Следовательно, оптимальное управление имеет структуру

.

Задача не вырожденная , то есть . Действительно, предположим, что для некоторого момента времени имеет место вырожденный случай . Но в этом случае, , а значит гамильтониан . Последнее равенство противоречит доказанному свойству гамильтониана, поскольку имеет место задача со свободным концом (конечный момент времени не фиксирован), а значит на оптимальной траектории .

Таким образом, оптимальное управление в рассматриваемой задаче всегда существует, имеет кусочно-постоянную структуру, причем количество переключений управлений в соответствии с теоремой Фельдбаума не более одного (поскольку размерность фазового вектора равна 2). Следовательно, возможны только 4 варианта управления

Для того, чтобы понять, какой из этих вариантов управления обеспечивает решение задачи оптимального быстродействия, представим уравнения для переменных состояния в виде:

Интегрируя эти уравнения с учетом того, что управление постоянная или кусочно-постоянная функция, находим

,

где постоянная интегрирования

Используя полученные зависимости, изобразим траектории движения динамической системы для различных вариантов управления.

В том случае, если траектория движения описывается параболой, ветви которой направлены вверх, вершины лежат на оси и смещены по оси на величину константы . Если траектория движения описывается параболой, ветви которой направлены вниз, вершины лежат на оси и смещены по оси на величину константы .

Видим, что система может быть приведена в начало координат , если двигаться по ветви ( ) или ( ). Кроме того, возможно переключение управления с на или наоборот с . на . Определим линию переключения , которая делит всю область значений на две подобласти

Получим уравнение линии переключения . Ветвь описывается уравнениями:

Ветвь отвечает условиям

Объединяя эти условия, уравнение, которое описывает в плоскости линию переключения , можно представить как

Запишем условия, определяющие структуру оптимального по быстродействию управления:

Используя уравнение для линии переключения , имеем:

Устройство, реализующее полученный закон управления имеет следующую структуру:

ПЗ4.doc

Практическое занятие 4. Оптимальное управление вертикальным запуском ракеты

Предположим, что необходимо произвести вертикальный запуск метеорологической ракеты на заданную высоту при заданном запасе топлива с максимальной скоростью. Уравнения движения ракеты можно представить в следующем виде:

,

где - текущая высота полета ракеты, - скорость полета; - масса ракеты; - секундный расход топлива; - сила тяги двигателя; сила аэродинамического сопротивления; ускорение свободного падения.

Граничные условия для данной задачи следующие , причем - заданные величины, конечная скорость и время подъема - свободны. Поскольку речь идет о подъеме на заданную высоту с максимальной скоростью, в качестве критерия оптимальности примем конечное значение скорости, которое необходимо максимизировать за счет выбора управления. Поскольку в лекционном Курск мы рассматривали задачи минимизации критериев, для сохранения преемственности изложения критерий оптимальности запишем как

.

В качестве управления будем рассматривать программу изменения секундного расхода топлива , за счет оптимального выбора которой необходимо обеспечить минимум критерия:

.

Запишем гамильтониан для данной задачи:

Перепишем гамильтониан в виде:

Поскольку управление входит в выражение для гамильтониана линейно, имеет место особое управление. Структуру оптимального управления определим из условия максимума гамильтониана:

Сопряженные переменные удовлетворяют уравнениям:

Здесь:

Рассмотрим вопрос существования и определения особого управления в данной задаче. Особое управление возникает, если на некотором интервале имеет место равенство

Если это условие выполняется на всем рассматриваемом временном интервале, то должно выполняться также условие

Подставляя в это выражение соотношения для , получим

Кроме того, необходимо учесть свойство гамильтониана на оптимальной траектории. Поскольку в рассматриваемой задаче конечный момент - не фиксирован (мы должны обеспечить минимум заданной функции конечного состояния, независимо от того, в какой момент времени это произойдет), то на оптимальной траектории .

Характеристики

Список файлов учебной работы