rpd000003181 (1012244), страница 17

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 17)

Для этого линеаризуем зависимости (9.13), (9.14) в окрестности , .

, (9.15)

(9.16)

,

.

(9.17)

Здесь:

,

,

.

Поставим задачу определения такой вариации , которая обеспечивает минимум вариации критерия . Следуя принципу максимума искомая вариация может быть определена на основе максимума гамильтониана, что в данном случае приводит к условию

(9.18)

Сопряженный вектор, как и в ранее рассмотренном случае линейной системы определяется в результате интегрирования уравнения «справа - налево»

. (9.19)

где

,

В результате решения задачи для линеаризованной системы определим вариацию управления , которая обеспечивает минимум вариации критерия . Если при этом , то вариация улучшает управление, поскольку приводит к уменьшению значений критерия. Однако, из условия очевидным образом не следует, что , поскольку в процессе линеаризации критерия учитывались только линейные члены разложения. Поэтому, вариация действительно является решением исходной задачи, если выполняются одновреме5нно два условия:

,

.

Допустим, что условие не выполняется. В этом случае процесс уточнения управления должен быть продолжен.

Для этого выразим вариацию критерия через сопряженный вектор и вариацию управления . Умножим (9.15) на сопряженный вектор , а уравнение (9.19) на . Складывая эти уравнения, получаем

(9.20)

или

(9.21)

Откуда с учетом краевых условий , уравнения для вариации вектора состояния (9.15), и вариации критерия (9.17) находим

(9.22)

(9.23)

Если вариацию в последнем выражении выбирать в виде:

,

где , то мы автоматически обеспечиваем выполнение условия . При этом выполнение второго условия достигается соответствующим подбором параметра .

ТЕМА 7.doc

Тема 7. Вырожденные задачи оптимального управления. Особое управление.

В общем случае под вырожденной задачей понимают такую, в которой оптимальное управление не может быть получено из условия максимума гамильтониана. Однако, в некоторых задачах оптимальное управление, которое в подобном случае называется особым, может существовать.

Рассмотрим один из наиболее распространенных случаев вырожденной задачи, когда гамильтониан является линейной функцией управления. Пусть математическая модель динамической системы имеет вид:

,

где

- фазовый вектор размера , ;

- скалярное управление, на которое наложены ограничения

Полагаем, что конечный момент - не фиксирован. Требуется определить такое допустимое управление , которое обеспечивает минимум функции конечного состояния:

Таким образом, имеет место задача управления конечным состоянием. Составим гамильтониан

,

Предположим, что на некотором интервале времени величина . Очевидно, что гамильтониан на этом интервале не будет зависеть от управления, а значит, оптимальное управление не может быть определено из условия минимума гамильтониана. Допустим, что оптимальное (называемое в данном случае особым ) управление все же существует. Тогда структура оптимального управления в данной задаче определяется условиями:

Получим дополнительные условия, которым должно удовлетворять особое управление. Введем следующие обозначения.

Воспользуемся для определения особого управления свойством гамильтониана. Поскольку в рассматриваемой задаче конечный момент - не фиксирован (мы должны обеспечить минимум заданной функции конечного состояния, независимо от того, в какой момент времени это произойдет), то, как следует из свойств гамильтониана, на оптимальной траектории

.

Так как мы считаем, что на интервале , величина , то из условия следует, что на этом интервале . Это безусловно будет выполняться, если равны 0 производные от функций в любой точке этого интервала. То есть на оптимальной траектории должна выполняться следующая совокупность условий

где –порядок производной .

Вычислим первые производные ( )

Учитывая что,

,

,

получаем

Тогда

Вычислим теперь производную

Последнее равенство безусловно выполняется при любом управлении , если

,

что означает . То есть мы получили, что из условия обязательно следует :

Вычислив производные более высокого порядка можно убедиться в справедливости этого условия, т.е:

и т.д.

Это обстоятельство позволяет для поиска особого управления ограничиться только анализом производных функции

Запишем условие для второй производной .

Отсюда находим:

Если знаменатель в приведенном выражении отличен от нуля , то есть , то рассчитанное таким образом управление может быть особым управлением, если для него выполняется ограничение . При этом, сопряженный и фазовый вектор могут быть определены численно в результате решения сопряженной системы дифференциальных уравнений.

Однако, возможна ситуация , в этом случае особое управление не может быть определено. В этом случае продолжаем вычисление производных и проверяем условие .

Оказывается, что выражение, которое мы получили для второй производной сохраняет свою структуру и для производных более высокого порядка. Иными словами

Допустим, что для некоторого порядка k производных имеет место условие

, тогда управление

Это управление является особым, если оно удовлетворяет ограничению . Предположим теперь, что для всех производных, включая , выполняется . В этом случае можно составить систему алгебраических уравнений:

То есть в этом случае имеет место система из n линейных алгебраических уравнений относительно n компонент сопряженного вектора, решив которую можно определить искомый сопряженный вектор, а значит, и особое управление.

В матричной записи эта система алгебраических уравнений имеет вид:

,

где - блочная матрица с компонентами

Известно, что система однородных линейных алгебраических уравнений, подобная приведенной выше, может быть решена, если матрица - вырожденная, те . Определитель является функцией фазового вектора:

Дифференцируя это условие, имеем:

.

Отсюда находим управление

,

которое может быть особым при выполнении заданных ограничений.

ТЕМА 8.doc

Тема 8. Задачи оптимального управления с ограничениями на фазовый вектор. Оптимальные траектории, лежащие на границе области ограничений. Учет ограничений в виде неравенств, условие скачка.

Во всех ранее рассмотренных задачах предполагалось, что никаких ограничений на фазовый вектор не накладывается, ограничения накладываются лишь на управление. Рассмотрим задачу, в которой присутствуют оба ограничения.

Рассмотрим автономную динамическую систему общего вида:

,

где

- фазовый вектор размера , , где – множество допустимых состояний, которое задано в виде , - вектор-функция размера ;

- вектор управления размера , на который наложены ограничения ;

- вектор-функция размера , время функционирования системы ограничено .

Ранее было показано, что задачи Лагранжа и Больца путем соответствующей замены переменных всегда могут быть сведены к задаче Майера (задаче управления конечным состоянием). Поэтому в качестве критерия оптимальности будем рассматривать функцию конечного состояния

,

где - некоторая скалярная функция конечного состояния динамической системы. Рассмотрим сначала случай, когда оптимальная траектория лежит на границе области допустимых состояний, то есть имеет место условие .

8.1. Оптимальные траектории, лежащие на границе области ограничений.

Необходимо найти управление , которое обеспечивает перевод динамической системы из некоторого начального состояния в конечное вдоль ограничения с минимумом критерия . Введем вектор размера ,определяемый на основе соотношения

Для того, чтобы траектория динамической системы во все моменты времени лежала на границе ограничений необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:

.

Действительно, первое из этих условий означает, что начальная точка траектории лежит на границе области . Второе, что вектор скорости в каждый момент времени ориентирован в направлении касательной к границе .

Для получения необходимых условий оптимальности управления в рассматриваемой задаче, как и прежде, воспользуемся игольчатой вариацией управления на интервале , где - бесконечно малый интервал времени , - оптимальное управление.

u(t)=u^*(t)+u(t)

Характеристики

Список файлов учебной работы