rpd000003181 (1012244), страница 14

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

с критерием

Придерживаясь ранее введенных обозначений для расширенной системы, запишем выражение для гамильтониана

Видим, что в выражение для гамильтониана переменная явным образом не входит, то есть

Следовательно

.

Поскольку , значит , и выражение для гамильтониана примет вид

Иными словами, компоненты , не входят в выражение для гамильтониана. С учетом этого необходимые условия оптимальности для задачи Лагранжа примут вид:

,

,

Условие оптимальности управления:

Гамильтониан на оптимальной траектории принимает значения

, если конечный момент времени - фиксирован.

, если конечный момент времени - свободен.

4.3. Обобщение принципа максимума на задачу Больца.

В этом случае модель динамической системы имеет вид:

Критерий оптимальности

Последнее слагаемое в выражении для критерия учитывает конечное состояние системы, причем само конечное состояние не фиксировано (свободно).

Сведем эту задачу к задаче Лагранжа , записав критерий оптимальности в виде:

Легко убедиться, что эта запись повторяет исходный критерий, так как

Воспользуемся правилом дифференцирования неявной функции

Тогда критерий оптимальности в форме Лагранжа запишется как

Поскольку начальное состояние системы задано , следовательно, эту постоянную компоненту можно не учитывать в критерии оптимальности. Тогда, в окончательном виде имеем

Используя ранее полученное выражение для гамильтониана в задаче Лагранжа, имеем

Каноническая система уравнений принимает вид:

,

, ,

но поскольку конечное состояние не фиксировано (свободно), то есть , конечное условие для сопряженного вектора .

Условие оптимальности управления, как и ранее:

,

где гамильтониан на оптимальной траектории отвечает условиям:

, если конечный момент времени - фиксирован.

, если конечный момент времени - свободен.

Преобразуем приведенную выше каноническую систему уравнений. Для этого введем новый сопряженный вектор , связанный с исходным вектором соотношением

= ,

и гамильтониан

Очевидна справедливость соотношения

Таким образом, с учетом с учетом полученных соотношений убеждаемся, что для задачи Больца вида

с критерием оптимальности

необходимые условия оптимальности управления записываются в виде

,

, ,

Гамильтониан

Условие оптимальности управления:

, если конечный момент времени - фиксирован.

, если конечный момент времени - свободен.

4.4. Различные типы граничных условиях в задачах оптимального управления.

Для отыскания оптимального управления с помощью необходимых условий оптимальности необходимо решить каноническую систему дифференциальных уравнений, для чего должно быть задано 2n краевых условий. Если начальное состояние динамической системы задано, то в начальный момент времени имеется n условий. Недостающие n условий определяются в зависимости от конкретного типа конечных условий исходной задачи. Выделим наиболее характерные случаи.

1. Задача с фиксированным концом траектории.

Если конечное состояние динамической системы задано, то есть задан вектор , то совместно с имеем 2n условий, которые замыкают каноническую систему уравнений, образуя, так называемую двухточечную задачу. Граничные условия при этом выполняются автоматически, поскольку вариация .

2. Задача со свободным концом траектории.

Если конечное состояние динамической системы не фиксируется, то для выполнения граничных условий

необходимо, чтобы

.

Снова имеем краевую задачу, которая отличается от предыдущей тем, что на правом конце траектории (в точке ) вместо вектора задан сопряженный вектор

3. Задача приведения траектории динамической системы на заданную поверхность.

В этом случае полагается, что вектор должен принадлежать некоторой поверхности, заданной уравнением

,

где - вектор-функция, размера k < n.

Приведенное условие означает, что вариация траектории в конечный момент времени связана условием:

.

Сравнивая это условие с равенством, непосредственно следующим из необходимого условия оптимальности

,

замечаем, что их одновременное выполнение наступает, если найдется постоянный вектор V размера k х 1 , такой что

.

Последнее условие называется условием трансверсальности.

Таким образом, снова приходим к краевой задаче, в которой заданными являются вектор , , но вектор задан с точностью до постоянного вектора V. Для нахождения последнего необходимо к канонической системе уравнений добавить уравнение поверхности

,

которое дает дополнительные k условий для определения вектора V.

4. Задача выбора начального состояния динамической системы.

Во всех рассмотренных ранее задачах программирования оптимального управления мы исходили из того, что начальное состояние динамической системы задано. Однако, на практике встречаются задачи, в которых вектор подлежит выбору в процессе оптимизации управления. В этом случае к граничным условиям

в конечный момент времени необходимо добавить начальное условие

в начальный момент времени .

ТЕМА 5.doc

Тема 5. Оптимальное по быстродействию управление линейной системой с постоянными коэффициентами. Структура оптимального управления

Задачи оптимизации управления, в которых минимизируется время перехода динамической системы из начального состояния в конечное называются задачами об оптимальном быстродействии. Рассмотрим пример такой задачи для линейной системы с постоянными коэффициентами.

Математическая модель управляемой динамической системы в этом случае имеет вид:

,

где - вектор размера , - вектор управления размера , матричные постоянные коэффициенты соответствующих размеров. На компоненты вектора управления наложены ограничения

.

То есть, множество допустимых управлений представляет собой - мерный куб, длина ребер которого равна 2. Так как речь идет о минимизации времени перехода системы из начального состояния в конечное , то критерий оптимальности имеет вид

.

То есть имеет место задача Лагранжа, в которой . Для нахождения оптимального управления составим гамильтониан

Здесь - вектор размера .

Запишем для рассматриваемой задачи каноническую систему дифференциальных уравнений:

,

,

Оптимальное управление будем искать из условия максимума гамильтониана. Особенность задачи состоит в том, что гамильтониан является линейной функцией управления

Следовательно, максимум гамильтониана по управлению будет достигаться на границах интервалов допустимых значений. Иными словами:

Если на некотором интервале значение , то гамильтониан не зависит от компоненты управления , которая может принимать любое значение в допустимом диапазоне. Перепишем вышеприведенное условие в более компактном виде

или в векторном виде

Поскольку конечное время не фиксировано (свободно), то из свойств гамильтониана следует, что

Из этого выражения следует

Отсюда убеждаемся, что оптимальный сопряженный вектор . Более того, известна теорема Фельдбаума, которая гласит следующее: если все собственные числа матрицы - действительные числа, то оптимальное управление имеет не более, чем переключение.

Для получения решению задачи программирования оптимального по быстродействию управления в общем случае приходиться использовать численные методы решения канонической системы

, ,

, ,

.

Предположим, что алгоритм решения этой системы существует, тогда для каждого момента времени может быть найден вектор , сопряженный вектор , а значит, может быть установлена зависимость . В общем случае эта зависимость не имеет аналитического представления, ам устанавливается численно. Тогда управление можно представить как функцию состояния, то есть

,

где имеет смысл функции переключения. Полученный результат позволяет достаточно просто реализовать устройство, обеспечивающее выработку оптимального по быстродействию управления.

ТЕМА 6.doc

Тема 6. Линейные системы, оптимизируемые по квадратичному критерию. Задача программирования оптимального управления. Задача синтеза оптимального управления.

6.1. Задача программирования оптимального управления.

Рассмотрим линейную динамическую систему

Характеристики

Список файлов учебной работы