Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Определим случайные величины в формуле (9) следующим образом:

, (15)

где – независимые одинаково распределенные случайные величины.

Проверим, что в случае представления (15) будут действительно независимыми центрированными гауссовскими случайными величинами с дисперсией :

1) независимость следует из независимости и ,

2) центрированность следует из центрированности и ,

3) гауссовость следует из гауусовости и ,

4) , что и требовалось доказать.

С учетом (14) и (15) формулу (9) для оценки фрактального гауссовского шума можно преобразовать следующим образом:

. (16)

Далее с помощью специально разработанной на языке C++ программы, исходный код которой представлен в Приложении, по формуле (16) производилось моделирование реализаций фрактального гауссовского шума, а затем по формуле (8) вычислялись значения ФБД.

Ниже представлены графики ФБД для количества шагов и различных значений параметра Харста.

Рис. 1. Реализация ФБД для

Рис. 2. Реализация ФБД для

Рис. 3. Реализация ФБД для

Рис. 4. Реализация ФБД для

Графики ФБД, представленные на рис. 1-4, наглядно показывают различные типы последействия для различных значений параметра Харста H.

Построим теперь оценку ковариационной функции и параметра Харста смоделированного процесса, чтобы убедиться, что смоделированный процесс действительно является фрактальным броуновским движением.

Оценку ковариационной функции можно построить по одной траектории, поскольку процесс является стационарным:

, (17)

где – наблюдения фрактального гауссовского шума.

Ниже представлены графики оценок ковариационных функций для смоделированных ФБД, траектории которых представлены на рис. 1-4. На графиках красным цветом обозначена оценка ковариационной функции, черным – точное значение ковариационной функции, вычисленное по формуле (6). Графики построены для 20 шагов.

Рис. 5. Оценка ковариационной функции ФБД для
(траектория процесса представлена на рис. 1)

Рис. 6. Оценка ковариационной функции ФБД для
(траектория процесса представлена на рис. 2)

Рис. 7. Оценка ковариационной функции ФБД для
(траектория процесса представлена на рис. 3)

Рис. 8. Оценка ковариационной функции ФБД для
(траектория процесса представлена на рис. 4)

Оценим параметр Харста для смоделированных процессов по методу моментов. Подставим в формулу (6) для точного значения ковариационной функции оценку параметра Харста и приравняем полученное выражение оценке ковариационной функции, рассчитанной по формуле (17), при .

,

,

.

Для смоделированных ФБД, траектории которых представлены
на рис. 1-4, получаем следующие оценки параметра Харста:

Таблица 1. Оценка параметра Харста методом моментов.

4. Интерполяция, экстраполяция и прогнозирование процесса ФБД по наблюдениям в двух точках

Важным классом задач в теории случайных процессов является построение оценки неизвестных значений процесса по нескольким известным значениям (наблюдениям).

В данной работе рассматривается задача построения с.к.-оптимальной оценки по наблюдениям . В зависимости от значений можно выделить три подзадачи:

Подзадача 1 (интерполяция)

Рассмотрим случай, когда :

Задачу построения оценки по наблюдениям при будем называть задачей интерполяции.

Подзадача 2 (экстраполяция)

Рассмотрим случай, когда :

Задачу построения оценки по наблюдениям при будем называть задачей экстраполяции.

Подзадача 3 (прогнозирование)

Рассмотрим случай, когда :

Задачу построения оценки по наблюдениям при будем называть задачей прогнозирования.

Для построения оценки воспользуемся теоремой о нормальной корреляции.

Пусть

– оцениваемая случайная величина,

– вектор наблюдений.

Тогда по теореме о нормальной корреляции:

,

где

, (18)

, (19)

. (20)

Поскольку , , получаем

. (21)

Подставив в формулу (21) выражения (18), (19) и (20) и упростив получившееся выражение, получаем:

,

где

.

Для случая (обычное броуновское движение) в задаче интерполяции аналитически получаем:

, (22)

то есть получаем линейную оценку неизвестного значения по двум наблюдениям:

Рис. 9. Оценка по двум наблюдениям в задаче интерполяции в случае .

Для задач экстраполяции и прогнозирования в случае также получаем, что с.к.-оптимальной оценкой является линейная оценка.

Проанализируем поведение с.к.-оптимальной оценки в случае .

Вычисление оценки для случая
(график процесса представлен на рис. 1)

Интерполяция:

Экстраполяция:

Прогнозирование:

Вычисление оценки для случая
(график процесса представлен на рис. 3)

Интерполяция:

Экстраполяция:

Прогнозирование:

5. Моделирование дифференциальной системы с возмущениями в виде ФБД и оценка состояний дифференциальной системы на основе фильтрации Калмана-Бьюси

Рассмотрим следующую дифференциальную систему:

(23)

в которой , , , (такая система описывает процесс Орнштейна-Уленбека). – стандартные процессы фрактального броуновского движения. , являются независимыми.

Характеристики

Список файлов ВКР