Главная » Просмотр файлов » Исследование модели фрактального броуновского движения

Исследование модели фрактального броуновского движения (1005943), страница 2

Файл №1005943 Исследование модели фрактального броуновского движения (Исследование модели фрактального броуновского движения) 2 страницаИсследование модели фрактального броуновского движения (1005943) страница 22017-06-10СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Определим случайные величины в формуле (9) следующим образом:

, (15)

где – независимые одинаково распределенные случайные величины.

Проверим, что в случае представления (15) будут действительно независимыми центрированными гауссовскими случайными величинами с дисперсией :

1) независимость следует из независимости и ,

2) центрированность следует из центрированности и ,

3) гауссовость следует из гауусовости и ,

4) , что и требовалось доказать.

С учетом (14) и (15) формулу (9) для оценки фрактального гауссовского шума можно преобразовать следующим образом:

. (16)

Далее с помощью специально разработанной на языке C++ программы, исходный код которой представлен в Приложении, по формуле (16) производилось моделирование реализаций фрактального гауссовского шума, а затем по формуле (8) вычислялись значения ФБД.

Ниже представлены графики ФБД для количества шагов и различных значений параметра Харста.

Рис. 1. Реализация ФБД для

Рис. 2. Реализация ФБД для

Рис. 3. Реализация ФБД для

Рис. 4. Реализация ФБД для

Графики ФБД, представленные на рис. 1-4, наглядно показывают различные типы последействия для различных значений параметра Харста H.

Построим теперь оценку ковариационной функции и параметра Харста смоделированного процесса, чтобы убедиться, что смоделированный процесс действительно является фрактальным броуновским движением.

Оценку ковариационной функции можно построить по одной траектории, поскольку процесс является стационарным:

, (17)

где – наблюдения фрактального гауссовского шума.

Ниже представлены графики оценок ковариационных функций для смоделированных ФБД, траектории которых представлены на рис. 1-4. На графиках красным цветом обозначена оценка ковариационной функции, черным – точное значение ковариационной функции, вычисленное по формуле (6). Графики построены для 20 шагов.

Рис. 5. Оценка ковариационной функции ФБД для
(траектория процесса представлена на рис. 1)

Рис. 6. Оценка ковариационной функции ФБД для
(траектория процесса представлена на рис. 2)

Рис. 7. Оценка ковариационной функции ФБД для
(траектория процесса представлена на рис. 3)

Рис. 8. Оценка ковариационной функции ФБД для
(траектория процесса представлена на рис. 4)

Оценим параметр Харста для смоделированных процессов по методу моментов. Подставим в формулу (6) для точного значения ковариационной функции оценку параметра Харста и приравняем полученное выражение оценке ковариационной функции, рассчитанной по формуле (17), при .

,

,

.

Для смоделированных ФБД, траектории которых представлены
на рис. 1-4, получаем следующие оценки параметра Харста:

Процесс

Точное значение параметра Харста H

Оценка параметра Харста

Рис. 1

0.8

0.7914

Рис. 2

0.8

0.7336

Рис. 3

0.2

0.2467

Рис. 4

0.2

0.2739

Таблица 1. Оценка параметра Харста методом моментов.

4. Интерполяция, экстраполяция и прогнозирование процесса ФБД по наблюдениям в двух точках

Важным классом задач в теории случайных процессов является построение оценки неизвестных значений процесса по нескольким известным значениям (наблюдениям).

В данной работе рассматривается задача построения с.к.-оптимальной оценки по наблюдениям . В зависимости от значений можно выделить три подзадачи:

Подзадача 1 (интерполяция)

Рассмотрим случай, когда :

Задачу построения оценки по наблюдениям при будем называть задачей интерполяции.

Подзадача 2 (экстраполяция)

Рассмотрим случай, когда :

Задачу построения оценки по наблюдениям при будем называть задачей экстраполяции.

Подзадача 3 (прогнозирование)

Рассмотрим случай, когда :

Задачу построения оценки по наблюдениям при будем называть задачей прогнозирования.

Для построения оценки воспользуемся теоремой о нормальной корреляции.

Пусть

– оцениваемая случайная величина,

– вектор наблюдений.

Тогда по теореме о нормальной корреляции:

,

где

, (18)

, (19)

. (20)

Поскольку , , получаем

. (21)

Подставив в формулу (21) выражения (18), (19) и (20) и упростив получившееся выражение, получаем:

,

где

.

Для случая (обычное броуновское движение) в задаче интерполяции аналитически получаем:

, (22)

то есть получаем линейную оценку неизвестного значения по двум наблюдениям:

Рис. 9. Оценка по двум наблюдениям в задаче интерполяции в случае .

Для задач экстраполяции и прогнозирования в случае также получаем, что с.к.-оптимальной оценкой является линейная оценка.

Проанализируем поведение с.к.-оптимальной оценки в случае .

Вычисление оценки для случая
(график процесса представлен на рис. 1)

Интерполяция:

Точное значение

Линейная оценка

С.к.-оптимальная оценка

70

120

75

33,02

31,24

31,69

70

120

100

36,85

35,4

36,06

70

120

110

39,82

37,07

37,42

Экстраполяция:

Точное значение

Линейная оценка

С.к.-оптимальная оценка

100

120

70

30,41

34,03

26,95

100

120

80

35,03

34,97

30,65

100

120

90

35,88

35,91

34,05

Прогнозирование:

Точное значение

Линейная оценка

С.к.-оптимальная оценка

70

100

110

39,82

39,0

38,75

70

100

120

38,73

41,14

40,58

70

100

130

39,47

43,29

42,35

Вычисление оценки для случая
(график процесса представлен на рис. 3)

Интерполяция:

Точное значение

Линейная оценка

С.к.-оптимальная оценка

70

110

80

2,382

-0,288

-0.356

70

110

90

0,047

-0,614

-0.563

70

110

100

0,257

-0,941

-0.779

Экстраполяция:

Точное значение

Линейная оценка

С.к.-оптимальная оценка

100

120

70

0,039

1,295

0,016

100

120

80

2,382

0,949

0,031

100

120

90

0,047

0,603

0,062

Прогнозирование:

Точное значение

Линейная оценка

С.к.-оптимальная оценка

70

100

110

-1,267

0,33

0,187

70

100

120

-0,435

0,402

0,172

70

100

130

1,701

0,475

0,163

5. Моделирование дифференциальной системы с возмущениями в виде ФБД и оценка состояний дифференциальной системы на основе фильтрации Калмана-Бьюси

Рассмотрим следующую дифференциальную систему:

(23)

в которой , , , (такая система описывает процесс Орнштейна-Уленбека). – стандартные процессы фрактального броуновского движения. , являются независимыми.

Характеристики

Тип файла
Документ
Размер
1,06 Mb
Высшее учебное заведение

Список файлов ВКР

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6384
Авторов
на СтудИзбе
308
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее