Статистическое изучение вариаций

Тема №5

Статистическое изучение вариаций

1. Абсолютные показатели вариации

2. Относительные показатели вариации

3. Вариации альтернативного признака

4. Виды дисперсий и правила их сложения

5. Анализ частотных распределений.

Средние величины и показатели вариации широко применяются для характеристики статистических совокупностей по варьирующим признакам.

Средняя величина является обобщенной характеристикой для однородной совокупности и определяет общие условия в отношении изучаемого признака. Но для всесторонне характеристики вариационного ряда необходимо установить степень колебаемости для некоторых значений признака.

Рекомендуемые материалы

Показатели вариации – показатели, характеризующие колебаемость признаков.

Для определения абсолютной меры колебаемости признаков или величины вариации применяют абсолютные средние размеры вариации:

· размах вариации;

· среднее линейное отклонение;

· дисперсия признака;

· среднее квадратическое отклонение.

1. Размах вариации – это абсолютная разность между max и min значениями признака в совокупности:

2. Среднее линейное отклонение определяется из отклонений индивидуальных значений признака от средней величины без учета знака этих отклонений. Оно измеряет отклонение средней варианты. Формула среднего линейного отклонения не взвешенной и взвешенной:

3. Дисперсия – определяется как среднее из отклонений индивидуальных значений признака от средней величины, возведенной в квадрат. Формула дисперсии не взвешенная и взвешенная:

4. Среднее квадратическое отклонение показывает на сколько в среднем отклоняются конкретные значения признака от их среднего значения. Выражается в тех же единицах измерения, что и сам признак. Формула среднего квадратического отклонения не взвешенная и взвешенная:

Среднее квадратическое отклонение является мерой надежности средней величины, т.е. чем оно меньше, тем точнее среднее арифметическое отражает собой всю изученную совокупность.

Свойства дисперсии:

1. D(С) = 0

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его при этом в квадрат:

3. Дисперсия суммы и разности определенного выражения равна сумме их дисперсий:

4. Дисперсия произведения случайных величин равна произведению их дисперсий:

5. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадрата ее математического ожидания:   

Для сравнения интенсивности вариации и сравнения ее в различных совокупностях применяют относительные показатели вариации. Они вычисляются как отношение абсолютных показателей силы вариации к средней арифметической величине признака.

1. Относительный размах вариации:  Он отражает относительную меру колебаний кратных значений вокруг средней.

2. Относительное линейное отклонение:  Он отражает долю усредненного значения абсолютного отклонения от средней величины.

3. Коэффициент вариации:  С помощью этого показателя можно определить однородна ли исследуемая совокупность: если , то совокупность однородна.

 Дисперсия альтернативного признака:

· p – доля единиц, обладающих данным признаком

o m – число единиц, обладающих данным признаком;

o n – объем совокупности;

· q – доля единиц, которые не обладают данным признаком .

Пример: вычислить дисперсию альтернативного признака по следующим данным – налоговой службой одного из районов города проверено 86 киосков и в 37 обнаружены финансовые нарушения.

Предельное значение дисперсии альтернативного признака равна 0,25 , при

Виды дисперсии и правила их сложения:

1. Общая дисперсия измеряет вариации признака во всей совокупности под влиянием всех факторов, обусловивших эту вариацию:

2. Межгрупповая дисперсия характеризует систематическую вариацию, т.е. различия в величине изученного признака, возникающие под влиянием признака фактора, положенного в основание группировки:

 – среднее значение признака в отдельной группе;

 – среднее значение признака по всей совокупности.

Межгрупповая дисперсия доли:

3. Внутригрупповая дисперсия отражает случайную вариацию, т.е. часть вариации, происходящую под влиянием неучтенных факторов и не зависящую от признака фактора положенного в основание группировки:

Общая дисперсия, возникающая под действием всех факторов, равна сумме дисперсии, проявляющего под влиянием группировочного признака, и дисперсии, возникающей под действием всех прочих факторов:

Правило сложения дисперсии применяется при вычислении показателей тесноты связей и ряде других случаев:

1. Показатель эмпирический коэффициент детерминации показывает удельный вес общей вариации изучаемого признака, обусловленного вариацией обусловленного признака. Он представляет собой долю межгрупповой дисперсии в общей:

2. Эмпирическое корреляционное отношение:  Чем ближе к 1, тем связь теснее.

Во многих вариационных рядах распределения можно заметить определенную зависимость между изменением значения варьирующегося признака и частот. Частоты могут сначала увеличиваться, с увеличением значений признака, а затем с середины ряда уменьшаться. Такие закономерности изменения частот в вариационных рядах называются закономерностями распределения.

Одна из важнейших целей изучения вариационных рядов – это выявить закономерность распределения и определить ее характер.

Кривая распределения – это график, изображенный в виде непрерывной линии, изменения частот в вариационном ряду функционально связанного с изменением варианты.

Кривые распределения бывают:

· одновременные:

o симметричные;

o ассиметричные.

· многовременные.

1. При изучении ассиметрии изучают показатель ассиметрии, который определяется по формуле:  

Для интервального вариационного ряда существуют следующие формулы для подсчета моды и медианы:

·  – нижняя граница модального интервала;

· h – величина модального интервала;

·  – частота модального интервала;

·  – частота интервала предшествующего модальному;

· – частота интервала следующего за модальным.

Модальный интервал – тот интервал, в котором наблюдается наибольшая частота.

Медианный интервал – тот интервал, в котором сумма накопленных частот превышает половину.

– нижняя граница медианного интервала;

h – величина медианного интервала;

Обратите внимание на лекцию "3.1. Внутреннее построение микропроцессора".

n – число единиц или объем совокупности;

– сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу;

– частота медианного интервала.

Если, , то правосторонняя ассиметрия, если , то левосторонняя ассиметрия. Если , то ассиметрия значительна, если , ассиметрия незначительна.

2. Показатель эксцесса определяется по формуле:

Если , то распределение островершинное, если , то распределение плосковершинное.