Разложение функций в степенные ряды
Разложение функций в степенные ряды.
Разложение функций в степенной ряд имеет большое значение для решения различных задач исследования функций, дифференцирования, интегрирования, решения дифференциальных уравнений, вычисления пределов, вычисления приближенных значений функции.
Возможны различные способы разложения функции в степенной ряд. Такие способы как разложение при помощи рядов Тейлора и Маклорена были рассмотрены ранее. (См. Формула Тейлора. )
Существует также способ разложения в степенной ряд при помощи алгебраического деления. Это – самый простой способ разложения, однако, пригоден он только для разложения в ряд алгебраических дробей.
Пример. Разложить в ряд функцию 
.
Суть метода алгебраического деления состоит в применении общего правила деления многочленов:
1 1 - x
1 – x 1 + x + x2 + x3 + …
x
Рекомендуемые материалы
x – x2
x2
x2 – x3
x3
……….
Если применить к той же функции формулу Маклорена
,
то получаем: 
……………………………….
Итого, получаем: 
Рассмотрим способ разложения функции в ряд при помощи интегрирования.
С помощью интегрирования можно разлагать в ряд такую функцию, для которой известно или может быть легко найдено разложение в ряд ее производной.
Находим дифференциал функции 
и интегрируем его в пределах от 0 до х.
Пример. Разложить в ряд функцию 
Разложение в ряд этой функции по формуле Маклорена было рассмотрено выше.
(См. Функция y = ln(1 + x).) Теперь решим эту задачу при помощи интегрирования.
При 
получаем по приведенной выше формуле:
Разложение в ряд функции 
может быть легко найдено способом алгебраического деления аналогично рассмотренному выше примеру.
Тогда получаем: 
Окончательно получим: 
Пример. Разложить в степенной ряд функцию 
.
Применим разложение в ряд с помощью интегрирования.
Подинтегральная функция может быть разложена в ряд методом алгебраического деления:
1 1 + x2
1 + x2 1 – x2 + x4- …
- x2
- x2 – x4
В лекции "4.2 Эпоха торможения инновационного процесса" также много полезной информации.
x4
x4 + x6
………….
Тогда 
Окончательно получаем: 
