Геометрический смысл производной аналитической функции

Геометрический смысл производной аналитической функции

Рассмотрим комплекснозначную   дифференцируемую в точке t и некоторой ее окрестности функцию действительной переменной z(t).

Наличие ненулевой производной  означает наличие касательной к графику функции с углом наклона к действительной оси, равным .

Рекомендуемые материалы

Рассмотрим теперь комплекснозначную аналитическую функцию комплексной переменной  . Пусть , где  - действительное число. Тогда  - комплекснозначная  функция действительной переменной z(t), дифференцируемая в точке t и некоторой ее окрестности.

Касательная к графику функции, по рассмотренному выше, имеет угол наклона к действительной оси равный .

По теореме о сложной функции , поэтому

Обратите внимание на лекцию "11.2. Основные методы гидравлического расчёта".

. Следовательно,  - аргумент производной аналитической функции . имеет смысл угла поворота касательной к кривой в точке при ее отображении посредством функции .

Так как , , то   - модуль производной аналитической функции имеет смысл коэффициента растяжения при отображении посредством функции . Все это справедливо в тех точках, в которых производная отлична от нуля.

Если две кривые отображаются посредством аналитической функции  , то угол наклона  касательной к каждой кривой изменяется в точке z на один и тот же угол , поэтому углы между кривыми сохраняются при отображении посредством аналитической функции (в тех точках, в которых ее производная отлична от нуля).

Отображение, сохраняющее углы между кривыми, называется конформным. Поэтому отображение посредством аналитической функции (в тех точках, в которых ее производная отлична от нуля) является конформным.

Пример. Линейное отображение  (), как было показано выше, сводится к повороту на угол  и растяжению в  раз.