Обращение квадратных матриц
Тема 4. Обращение квадратных матриц,
Матрица B является обратной матрицей к заданной исходной матрице A размером в n строк и n столбцов, если произведение матриц AB=BA=E. Здесь E - единичная матрица размерности n´n. Такая матрица обозначается через A-1 (т.е. вместо матрицы B пишут A-1).
Имеются много различных методов обращения квадратных матриц. Рассмотрим некоторые из них.
Метод перестановки зависимых и независимых переменных основан на постепенной перестановке в системе
y = A×x,
где
- y и x - векторы зависимых и независимых переменных,
Рекомендуемые материалы
- A - обращаемая матрица,
элементов векторов y и x с пересчетом элементов матрицы A. На каждом шаге производится одна такая перестановка (т.е. один из элементов xi вектора x переходит на j-е ме сто в вектор y, а элемент yj вектора y переходит в вектор x на i-е место) и соответствующий пересчет элементов матрицы A. Когда будет произведена перестановка всех элементов, необходимо произвести упорядочивание элементов в обоих вновь образованных векторах. При этом, каждая перестановка элементов при каждом шаге упорядочивания каждого из векторов должна сопровождаться синхронной перестановкой столбцов (при перестановке в векторе правой части) или строк (при перестановке в векторе левой части) посчитанной в последний раз матрице A. В результате этих операций будет получена система вида
x = A y ,
в которой векторы x и y совпадают с исходными одноименными векторами, а матрица A является фактически обратной матрицей к исходной матрице A.
Пример 1. Методом перестановки зависимых и независимых переменных обратить матрицу
A = 
.
Согласно этому методу запишем преобразование, в котором затем будем производить перестановки зависимых и независимых переменных. Имеем y = Ax, или подробнее
= 
. 
.
Шаг 1. Положим i0=1 и в первой строке матрицы A найдем наибольший по абсолютной величине элемент. Таким является элемент, расположенный в третьем столбце первой строки. Следовательно j0=3, и исходя из этого произведем перестановку переменных x3 и y1 c пересчетом коэффициентов матрицы A. После проведения вычислений, получим
= 
. 
.
Шаг 2 Положим i0=2 и во второй строке матрицы A (без учета элемента ее третьего столбца) найдем наибольший по абсолютной величине элемент. Таким является элемент, расположенный во втором столбце (второй строки). Следовательно, j0=2 и, исходя из этого, произведем перестановку переменных x2 и y2 c пересчетом коэффициентов матрицы A. После проведения вычислений получим
= 
. 
.
Шаг 3 Положим i0=3 и в третьей строке матрицы A (без учета элемента ее второго и третьего столбцов) найдем наибольший по абсолютной величине элемент. Таким является элемент, расположенный в четвертом столбце (третьей строки). Следовательно j0=4 и исходя из этого произведем перестановку переменных x4 и y3 c пересчетом коэффициентов матрицы A. После проведения вычислений получим
= 
. 
.
Шаг 4 Положим i0=4 и j0=1 (так как это единственная возможная перестановка) и исходя из этого произведем перестановку переменных x1 и y4 c пересчетом коэффициентов матрицы A. После проведения вычислений, получим
= 
. 
.
Шаг 5 Произведем упорядочение элементов вектора в левой части с одновременной перестановкой строк матрицы A. После проведения такого упорядочения, получим
= 
. .
Шаг 6 Произведем упорядочение элементов вектора в правой части с одновременной перестановкой столбцов матрицы A. После проведения такого упорядочения получим
= 
. 
.
После таких действий мы привели исходную матрицу A к обратной ее матрице A-1. Следовательно, мы получили
A-1 = ..
Шаг 7. Произведем проверку полученного результата. Для этого произведем умножение полученной матрицы на исходную. Получим
A A-1= 
. .= 
.
Таким образом, обратная матрица к заданной матрице получена правильно.
Метод Гаусса-Жордана основан на сведении процесса обращения заданной квадратной матрицы A размерности n´n к решению n систем линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных элементов обратной матрицы.
Обозначим через aij (i, j = 1, 2, … , n) элементы исходной (обращаемой) матрицы A, через xij (i, j = 1, 2, … , n) элементы искомой (обратной) матрицы A-1, а через dij (i, j = 1, 2, … , n) элементы единичной матрицы E (dij=1 при i=j и dij=0 при i¹j). Тогда матричное уравнение AA-1=E, где неизвестной является матрица A-1, в координатной записи будет иметь следующий вид
.
Если взять конкретное значение j, то получится система линейных алгебраических уравнений, решением которой является j-й столбец обратной матрицы. Таким образом, решив n систем линейных уравнений с одинаковыми матрицами и разными правыми частями, мы найдем все n столбцов обратной матрицы. Если производить решение каждой такой системы методом Гаусса-Жордана, то приведение исходной матрицы к единичной матрице можно производить только один раз, а пересчет векторов правых частей (их количество равно n) можно производить параллельно с приведением исходной матрицы.
Этот процесс удобно производить с оспользованием расширенной матрицы размером в n строк и 2n столбцов. В ней первые n столбцов должны занимать столбцы исходной (обращаемой) матрицы, а последние n столбцов - единичная матрица. Эта единичная матрица представляет собой набор из n векторов правых частей решаемых систем уравнений. После приведения исходной матрицы (т.е. левых n столбцов расширенной матрицы) посредством еквивалентных преобразований к диагональному виду - в правых n столбцах расширенной матрицы получим элементы обратной матрицы, т.е. обратную матрицу к исходной.
Пример 1 . Методом Гаусса-Жордана обратить матрицу
A = 
.
Составим расширенную матрицу, состоящую из исходной и единичной матриц. Получим
A* = 
.
Шаг 1. Заменяя вторую строку на разность второй и первой строк, а третью - на сумму третьей и первой строк, получим
.
Шаг 2. Разделим вторую строку на значение коэффициента a22, равного 2. Затем заменим третью строку на сумму третьей строки и только-что полученной второй, а четвертую - на разность ее с умноженной на 2 второй строкой. Получим
.
Шаг 3. Разделим третью строку на значение коэффициента a33, равного 7/2. Затем заменим первую строку на разность ее и только-что полученной третьей строки, умноженной на 5. Вторую строку заменим на разность ее и только-что полученной третьей строки, умноженной на -5/2. Четвертую - на разность ее с умноженной на 3 третьей строкой. Получим
.
Шаг 4. Разделим четвертую строку на значение коэффициента a44, равного -1. Затем заменим первую строку на разность ее и только-что полученной четвертой строки, умноженной на -3. Вторую строку заменим на разность ее и только-что полученной четвертой строки, умноженной на 2. Третью - на разность ее с четвертой строкой. Получим
В лекции "6.4 Когнитивные конфликты" также много полезной информации.
.
Шаг 5. Так как первые четыре столбца только-что полученной матрицы представляют собой единичную матрицу, то согласно методу обращения матриц Гаусса-Жордана последние четыре столбца ее представляют собой обратную матрицу к заданной. Следовательно, имеем
A-1 = .
Шаг 6. Проверка результата. Так как полученная обратная матрица совпадает с обращаемой матрицей, полученной в примере 1, то проверка выполненная там достаточна для подтверждения правильности полученного результата.
