Экзаменационные темы

                                            ВОПРОСЫ 

                               к экзамену по курсу

                     «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ»

                                   группы АК1, 2, 4 - 41                             

                                            РЯДЫ ФУРЬЕ

     Тригонометрические ряды. Тригонометрический ряд как ряды Фурье своей суммы. Представление частичной суммы ряда Фурье интегралом Дирихле. Лемма Римана. Теорема о разложении функции в ряд Фурье. Ряд Фурье по произвольному отрезку. Разложения про синусам и косинусам.  

     Сходимость в смысле среднего квадратического. Общее понятие ряда Фурье по ортонормированной системе. Экстремальное свойство частичной суммы ряда Фурье. Неравенство Бесселя. Равенство Парсеваля. Замкнутые системы. Замкнутость тригонометрической системы (без док-ва).   

                ЭЛЕМЕНТЫ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

     Изображение Лапласа. Изображение Лапласа функции Хевисайда, функций e^t, cos t, sin t. Простейшие свойства изображения Лапласа: теоремы линейности, подобия, смещения изображения. Теорема запаздывания оригинала. Дифференцирование изображения. Дифференцирование оригинала. Изображение свертки (без док-ва). Таблица изображений. Восстановление оригинала по его изображению.

Рекомендуемые материалы

    Приложения операционного исчисления. Решение дифференциальных, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений. Решение дифференциальных уравнений с разрывной правой частью.

                             ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

      Элементы комбинаторики. Перестановки, размещения, сочетания. Теоремы сложения и умножения. Биномиальные коэффициенты и их свойства.

     Алгебра и  s-алгебра событий. Аксиоматика Колмогорова. Вероятность как счетно-аддитивная нормированная мера на  s-алгебре событий. Конечное вероятностное пространство. Классическое определение вероятности.  Счетное вероятностное пространство. Непрерывное вероятностное пространство. Геометрическое определение вероятности. Следствия из аксиом. Вероятность противоположного события. Теорема сложения вероятностей.

     Условная вероятность. Независимость событий. Попарная независимость и независимость в совокупности. Теорема умножения вероятностей. Формула полной вероятности и формула Байеса. Формула Бернулли.

     Случайные величины. Случайные величины в конечной схеме, счетной схеме. Случайные величины в общей схеме. Закон распределения случайной величины. Функция распределения и ее свойства. Дискретные и непрерывные случайные величины. Плотность распределения непрерывной случайной величины. Ее свойства. Связь функции плотности и функции распределения. Понятие числовой характеристики случайной величины. Математическое ожидание и дисперсия. Их простейшие свойства. Среднее квадратическое отклонение.

     Примеры распределений: геометрическое, биномиальное, пуассоновское, равномерное, показательное, нормальное.

     Многомерные случайные величины. Их законы распределения. Частные законы распределения. Независимые случайные величины.

     Свойства математического ожидания и дисперсии. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин. Ковариация и коэффициент корреляции. Дисперсия суммы случайных величин. Ковариационная матрица. Теорема о свойствах коэффициента корреляции. Независимость и некоррелированность.

     Функции случайных величин. Закон распределения функции случайных величин. Композиция законов распределения. Композиция нормальных законов. Композиция пуассоновских законов.

В лекции "36. Тесей" также много полезной информации.

     Закон больших чисел. Неравенство Чебышёва. Теорема Чебышёва. Теорема Бернулли.

     Характеристические функции. Характеристическая функция нормального распределения. Связь производных характеристической функции с моментами случайной величины. Характеристическая функция композиции случайных величин. Пример: композиция нормальных распределений. Непрерывность соответствия множества характеристических функций множеству функций распределения (без док-ва).  

      Центральная предельная теорема. Теорема Муавра–Лапласа.

        ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

      Основные задачи математической статистики. Выборка. Оценки. Требования, предъявляемые к оценкам. Эмпирическая функция распределения и гистограмма. Метод максимального правдоподобия. Интервальное оценивание. Интервальное оценивание математического ожидания для нормальной случайной величины.  

     Понятие о статистической проверке гипотез. Проверка гипотезы о виде закона распределения. Критерий c² Пирсона.