Экзаменационные билеты

                                       БИЛЕТЫ

                       к экзамену по курсу

                              «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И

                        МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА»

                                                       БИЛЕТ 1

  1. Тригонометрический ряд как ряд Фурье своей суммы.

  2. Центральная предельная теорема.

  3. Решить операционным методом  задачу Коши

               y¢¢ – 2y¢ – 3y = e^3t,          y(0) = 0,    y¢(0) = 0.

Рекомендуемые материалы

4. Из колоды в 36 карт наудачу берут одну. Случайные величины x  и  h – число карт бубновой и пиковой мастей среди вынутых карт соответственно. Найти коэффициент корреляции r_xh.

                                 БИЛЕТ 2

1. Представление частичной суммы ряда Фурье интегралом Дирихле.  

2. Неравенство Чебышева.

3. Решить операционным методом задачу Коши

                    y¢¢ + y¢ – 2y = e^t,    y(0) = -1,    y¢(0) = 0.        

4. Из колоды в 36 карт наудачу берут одну. Случайная величина x - число тузов среди вынутых карт,  h - число карт бубновой масти. Найти коэффициент корреляции r_xh.

                               БИЛЕТ 3

1. Лемма Римана.

2. Статистическое оценивание. Требования, предъявляемые к оценкам.

3. Решить операционным методом задачу Коши

                x′ = 2y – x + 1,     y′ = 3y – 2x,  x(0) = 0,   y(0) = 0.

4. Из колоды в 36 карт наудачу с возвращением берут две карты. Случайная величина x – число карт бубновой масти среди вынутых. Построить  ряд распределения случайной величины x, найти Mx и Dx. 

                                    БИЛЕТ 4

1. Теорема о разложении функции в ряд Фурье.  

2. Понятие о статистической проверке гипотез. Критерий χ² Пирсона.

3. Решить операционным методом задачу Коши  

                    y′′ + y′ – 2y = e ^–t,         y(0) = 0,   y′(0) = 1.                 

4. Из колоды в 52 карты наудачу берут две. Случайная величина ξ –число   карт бубновой масти  среди вынутых. Построить ее ряд распределения, найти Mξ и значение функции распределения F_ξ(1).

                                   БИЛЕТ 5

1. Ряд Фурье по произвольному отрезку. Разложения по косинусам и синусам.

2. Теорема Чебышева (ЗБЧ).

3. Решить операционным методом  интегральное уравнение

                          _t

                          ∫ y(z) cos (t – z) dz = sin t.

                          ⁰

                        

4. Из колоды в 52 карты наудачу берут одну карту. Случайная величина ξ – число карт пиковой масти среди вынутых,  η – число бубновых карт. Найти коэффициент корреляции ρ_ξη.

                         БИЛЕТ 6

1. Доказать формулу 

                                  1        1       1       1                π²

                        1 + ---- + ---- + ---- + ---- + … = ---- .

                                  4        9      16      25               6

2. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин.

3. Решить операционным методом задачу Коши 

              x′ = 2y – x + 1,   y′ = 3y – 2x,    x(0) = –3,    y(0) = 0.

4.  Из колоды в 52 карты наудачу берут одну карту. Случайная величина ξ – число тузов среди вынутых карт, η – число королей. Найти коэффициент корреляции  ρ_ξη.

                                 БИЛЕТ 7

1. Сходимость в смысле среднего квадратического. Пространство C₂(a, b).

2. Свойства математического ожидания.

3.  Решить операционным методом интегральное уравнение

                        _t

                        ∫ y(z) sin (t – z) dz = 1 – cos t.

                        ⁰

4. Бросают две игральные кости. Найти математическое ожидание произведения выпавших очков. 

                                БИЛЕТ 8

1. Экстремальное свойство частичных сумм ряда Фурье.

2. Интервальное оценивание. Построение доверительного интервала для математического ожидания нормальной случайной величины.

3. Решить операционным методом задачу Коши

               y′′′ – 6y′′ + 11y′ – 6y = 0,    y(0) = 0,    y′(0) = 1,    y′′(0) = 6.

4. Из колоды в 36 карт наудачу берут с возвращением 2 карты. Случайная величина x – число тузов среди вынутых карт. Построить ряд распределения случайной величины x, найти Mx и Dx. 

                                      БИЛЕТ 9

1. Неравенство Бесселя. 

2. Нормальное распределение.

3. Решить операционным методом задачу Коши для системы

                   x¢ = y + 2e^t,   y¢ = x + t²,   x(0) = -2,    y(0) = –1. 

4. Из колоды в 36 карт наудачу берут одну. Случайная величина x – число тузов среди вынутых карт,  h - число королей. Найти коэффициент корреляции r_xh.

                               БИЛЕТ 10

1. Равенство Парсеваля. Замкнутость тригонометрической системы (без док-ва)

2. Показательное распределение.

3. Решить операционным методом задачу Коши для системы

                       x¢ = y + 2e^t,     y¢ = x + t²,     x(0) = y(0) = 0.

4. Из колоды в 36 карт наудачу берут две. Случайная величина x – число тузов среди вынутых карт. Найти ряд распределения случайной величины x, ее  математическое ожидание и дисперсию.

                                  БИЛЕТ 11

1. Изображение Лапласа.

2. Равномерное  распределение.

3. Разложить в ряд Фурье по синусам на отрезке [0, p] функцию 

                                           f(x) = x(p – x).

4. Найти вероятность того, что среди 200 изделий окажется больше трех бракованных, если в среднем бракованные изделия составляют 1%.

                               БИЛЕТ 12

1. Изображение Лапласа функции Хевисайда и функции e^t.

2. Распределение Пуассона.

3. Разложить в ряд Фурье по синусам на отрезке [0, 2] функцию

                                           x,    если   0 £  x £ 1,

                      f(x) =

                                     2 – x, если 1 £  x £  2.

4. Бросают две игральные кости. Найти математическое ожидание числа выпавших очков, если известно, что выпали разные грани.

                             БИЛЕТ 13

1. Изображение Лапласа функций cos t и sin t.

2. Биномиальное распределение.

3. Оценить параметр показательного распределения, т. е. распределения с плотностью

                                  le ^-lx, если x ³ 0,

                   p_x(x) =

                                   0,      если x < 0.

по методу максимального правдоподобия.

4. Известно, что 5% всех мужчин и 0,25% всех женщин страдают дальтонизмом. Наугад выбранное лицо страдает дальтонизмом. Какова вероятность, что это мужчина?

                                БИЛЕТ 14 

1. Теоремы подобия, линейности и сдвига оригинала.

2. Дисперсия случайной величины.

3. Оценить параметр распределения Пуассона

                                              l^m

                          P(x = m) = ---- e ^-l

                                              m!

по методу максимального правдоподобия.

4. Бросают три кости. Какова вероятность, что хотя бы на одной из них выпадет одно очко, если на всех трех выпали разные грани?

                                                  БИЛЕТ 15

1. Теорема запаздывания.

2. Математическое ожидание в конечной схеме. Его свойства.

3.  Найти характеристическую функцию распределения Пуассона     

                                            l^m

                         P(x = m) = --- e^-l.

                                            m!

4. Трое поочередно бросают монету. Выигрывает тот, у кого раньше появится герб. Найти вероятности выигрыша для каждого из игроков.

                                              БИЛЕТ 16

1. Дифференцирование изображения  

2. Непрерывные случайные величины. Плотность распределения и ее свойства

3. Разложить в ряд Фурье  [–π, π] функцию  

                                       0,   если  –π ≤ x ≤  0,

                           f(x) =                                 

                                       1,    если 0 ≤ x ≤  π.

4. Из колоды в 36 карт наудачу берут две. Случайная величина x – число карт бубновой масти среди вынутых. Найти ряд распределения случайной величины x, ее математическое ожидание и дисперсию.

                                           БИЛЕТ 17

1. Дифференцирование оригинала.

2. Функция распределения случайной величины.

3. Разложить в ряд Фурье на отрезке [0, 1] по синусам функцию

                                          f(x) = 1 – x. 

4. Автоматическая линия при нормальной настройке может выпускать бракованное изделие с вероятностью p. Переналадка линии производится после первого же бракованного изделия. Найти среднее число изделий, изготовленных между двумя переналадками линии.

                                            БИЛЕТ 18

1. Изображение Лапласа функций e^atcos bt и e^atsin bt.

2. Формула Бернулли.

3. Разложить в ряд Фурье на отрезке [0, 1] по косинусам  функцию    

                           f(x) = 1 – x.

4. На окружности радиуса 1 с центром в начале координат наудачу выбрана точка. Найти математическое ожидание площади квадрата со стороной, равной абсциссе этой точки.

                                        БИЛЕТ 19

1. Характеристическая функция. Ее свойства. 

2. Формула Байеса. 

Решить операционным методом задачу Коши

                    x′′ + 2x′ + 2x = te ^–t,      x(0) = x′(0) = 0.

4. Имеется 100 станков одинаковой мощности, работающих независимо друг от друга в одинаковом режиме, при котором их привод оказывается включенным в течение 0,8 всего рабочего времени. Какова вероятность того, что в произвольно взятый момент времени окажутся включенными от 70 до 86 станков?

                                            БИЛЕТ 20

 1. Изображение Лапласа свертки (без док-ва).  

 2. Метод максимального правдоподобия. Пример.

 3. Найти сумму ряда

                                          1      1      1

                                  1 + --- + --- + --- + …

                                          9     25    49

4. Из колоды в 52 карты  берут с возвращением две карты. Случайная величина ξ –  число карт бубновой масти среди вынутых. Построить ряд распределения случайной величины ξ, найти ее математическое ожидание и дисперсию.

                                       БИЛЕТ 21

1. Изображение Лапласа функций  tcos at и   tsin at.  

2. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей. Независимость событий.

3. Найти сумму ряда 

                                  1        1        1        1

                         1 -  ---- + ---- -  ---- + ---- - …             

                                  4        9       16      25

4. Среди семян пшеницы 0,6 % семян сорняков. Какова вероятность при случайном отборе 1000 семян обнаружить среди них не менее 3 семян сорняков?

                                           БИЛЕТ 22

1. Изображение Лапласа функций  tsh at и tch at. 

2. Конечное вероятностное пространство. Классическое определение вероятности.

3. Найти характеристическую функцию показательного распределения, т. е.  распределения с плотностью  

                                  le ^-lx, если x ³ 0,

                 p_x(x) =

                                   0,      если x < 0.

4. Случайная величина  x принимает значения 1, 2 и 3 с вероятностями p₁, p₂ и p₃ соответственно. Найти эти вероятности, если известно, что F_x(2,5) = 0,5, а Mx = 2,3.

                                                  БИЛЕТ 23

1. Характеристическая функция нормального распределения.  

2. Следствия из аксиом теории вероятностей. Теорема сложения.

3. Оценить параметр распределения Рэлея, т. е. распределения с плотностью 

                              x              x²

                            ---- exp{– -----}, если x ≥ 0,

           p_ξ(x) =        a²             2a²

                                  0,                   если x < 0.

по методу максимального правдоподобия.

4. Случайная величина x принимает значения 1, 2 и 3 с вероятностями p₁, p₂ и p₃ соответственно. Найти эти вероятности, если известно, что F_x(3) = 0,8, а Mx = 1, 9.

                                            БИЛЕТ 24

1. Характеристическая функция суммы независимых случайных величин.

2. Аксиоматика Колмогорова.

3. Решить операционным методом задачу Коши

                x′ = 2y – x + 1,   y′ = 3y – 2x,     x(0) = –1,   y(0) = 0.      

4. Случайная величина x принимает значения 1, 2 и 3 с вероятностями p₁, p₂ и p₃ соответственно.  Найти эти вероятности, если известно, что F_x(2) = 0,5, а Mx = 1,7.

                                                           ОТВЕТЫ

                    1

1.3.   y(t) = --- (e ^{– t} – e^3t + 4te^3t).

                   16

                     1

1.4.  ρ_ξη = – --- .

                     3

                    1 

2.3.   y(t) = --- (-7e^t + 3te^t – 2e ^–2t ).

                    9

2.4.   ρ_ξη = 0.

3.3.   x(t) = (3 – 2t)e^t – 3,   y(t) = (2 – 2t)e^t – 2.

            ---------------------------

3.4.       x_i     0         1         2             Mξ = 0,5,   Dξ = 0,375.

           ----------------------------

                     9        6          1

             p_i      ----     ----      ----

                    16      16        16

           ----------------------------

4.3.    y(t) = sh t.

4.4.    ------------------------------------                          1                    19

            x_i         0         1          2                         M_ξ = ---,      F_ξ(1) = ---- .

          ------------------------------------                          2                     34

                       38      26         4

            p_i        ----     ----      ----

                       68      68        68

          ------------------------------------

5.3.  y(t) = 1.  

                      1

5.4.   ρ_ξη = – ---.

                      3

6.3.   x(t) = 4te^t – 3,   y(t) = (2 + 4t)e^t – 2. 

                      1

6.4.   ρ_ξη = – ---.

                      8

7.3.  y(t) = 1.    

          49

7.4.   ----.

           4

           1

8.3.    --- (e^t – 4e^2t + 3e^3t)  

           2

8.4.    ------------------------            

           x_i   0      1       2                                2             16

          ------------------------              Mξ = ---- , Dξ = ---- .

                64    16     1                                9              81

          p_i  ----  -----   ----       

                81    81     81

          ------------------------

9.3.    x(t) = te^t – t² – 2,   y(t) = (t – 1)e^t – 2t

                      1

9.4.   ρ_ξη = – --- .

                      8

10.3.    x(t) = e^t + te^t + ch t – t² – 2,    y(t) = sh t + te^t – 2t.

              ------------------------------------                2              544

10.4.      x_i      0           1              2              Mξ = ---,  Dξ = ------.

              ------------------------------------                9              2835

                    248         64            3

              p_i   ------      ------      ------

                     315       315         315

              -----------------------------------

            8     _∞      sin (2k + 1)x

11.3.   ----  ∑   -----------------.  

            π   ^{k = 0}      (2k + 1)³

                              2       2²    2³

11.4.    1 – e^–2(1 + --- + --- + ---) ≈ 0,143

                               1!     2!    3!

             8     _∞      (–1)^k              π(2k + 1)x

12.3.   ----   ∑   -----------   sin -------------- .

             π^{2  k = 0}   (2k + 1)²                 2

12.4.    7.

                                  n

13.3.     λ = ------------------------- .

                      X₁ + X₂ + … + X_n

              20

13.4.     ---- .

              21    

                     X₁ + X₂ + … + X_n

14.3.     λ = -----------------------.

                                 n

             1

14.4.    ---.                                                                          

             2

15.3.   exp{l(e^it – 1)}.

             4     2     1

15.4.    ---,  ---,  ---. 

             7     7     7

               1           2    _∞      sin (2k + 1)x

16.3.     ---- +    ----   ∑   ------------------ .     

               2           π   ^{k = 0}         2k + 1 

             --------------------------------                            1                  51

16.4.      x_i      0            1           2                    Mξ =  ----,   Dξ =  ------.

             --------------------------------                             2                 140

                    39           27           4

             p_i      ----        -----        -----

                    70           70          70

                -------------------------------

            2    _∞     sin πnx

17.3.   ---   ∑  -----------.     

            π   ^{n = 1}        n

            1

17.4. ---.

            p

               1        4    _∞       cos π(2k + 1)x

18.3.     ----  + ---   ∑   --------------------.

               2        π^{2  k = 0}        (2k + 1)²

             1

18.4.    ---.

             2

19.3.   x(t) = e ^–t (t – sin t).   

19.4.  Ф(1,5) – Ф(–2,5) ≈ 0,927.

           p²

20.3   ---.

           8       

20.4.   -------------------------------           

            x_i     0           1          2                Mξ = 0,5,   Dξ = 0,375

------------------------------

                    9         6            1

            p_i     ----     ----          ----

                   16       16          16

            ------------------------------

                p²

21.3.      ---- .

               12

                                  0,6       0,6²

21.4.    1 – e^{– 0,6} (1 + -----  + ------)  ≈ 0,023.

                                   1!         2!

                    λ

22.3.      ----------.

               (l – it)

22.4.    p₁ =  0,2,  p₂ = 0,3, p₃ = 0,5.

                  X₁² + … + X_n²

Лекция "Лекция 6" также может быть Вам полезна.

23.3.    {-----------------------}^½.      

                          2n

23.4.    p₁ = 0,3,   p₂ = 0,5,   p₃ = 0,2.

24.3.   x(t) = 2e^t – 3,   y(t) = 2e^t – 2.    

24.4.     p₁ = 0,5,  p₂ = 0,3,  p₃ = 0,2.