Дайте определение скалярной случайной величины, сформулируйте и докажите основные свойства ее функции распределения
Дайте определение скалярной случайной величины, сформулируйте и докажите основные свойства ее функции распределения.
Случайной величиной называется числовая величина, значение которой зависит от того, какой именно элементарный исход произошел в результате эксперимента.
Скалярную функцию X(w), заданную на пространстве элементарных исходов, называют случайной величиной, если для любого xÎR {w: X(w)<x} – множество элементарных исходов, для которых X(w)<x является событием.
Функцией распределения (вероятностей) случайной величины X называют функцию F(x), значение которой в точке x равно вероятности события {X<x}, т. е. события, состоящего из тех и только тех элементарных исходов w, для которых X(w)<x: F(x)=P{X<x}. Обычно говорят, что значение функции распределения в точке х равно вероятности того, что случайная величина Х примет значение, меньшее х.
Функция распределения удовлетворяет следующим свойствам:
Ещё посмотрите лекцию "12 Приближенные методы расчета надежности" по этой теме.
1. 
2. 
при x1<x2 (F(x) – неубывающая функция)
3. 
4. 
5. 
, где 
(F(x) – непрерывная слева функция)
Доказательство. Поскольку значение функции распределения в любой точке x является вероятностью, то из свойства 4 вероятности (см. вопрос 5) вытекает утв. 1. Если x1<x2, то событие {X<x1} включено в событие {X<x2} и, согласно свойству 3, 
, т. е. в соответствии с определением функции распределения выполнено утв. 2. Пусть x1,…, xn,… - любая возрастающая посл-ть чисел, стремящаяся к +¥. Событие {X<+¥}, с одной стороны, является достоверным, а с другой стороны представляет собой объединение событий {X<xn}. Отсюда в силу аксиомы непрерывности следует второе равенство в утв. 3. Аналогично доказывается и первое равенство. Событие {X<x2} при x1<x2 представляет собой объединение двух непересекающихся событий: {X<x1} – случайная величина X приняла значение, меньшее x1, и 
- случайная величина X приняла значение, лежащее в промежутке [x1, x2). Поэтому в соответствии с аксиомой сложения получаем утв. 4. Наконец, пусть x1,…,xn,… - любая возрастающая посл-ть чисел, стремящаяся к x. Событие {X<xn} является объединением событий {X<xn}. Снова воспользовавшись аксиомой непрерывности, приходим к утв. 5.
