Условная вероятность

Лекция 2

Условная вероятность.

Часто приходится вычислять вероятность события А при дополнительном условии, что произошло событие В. Такую вероятность  будем называть условной и обозначать Р(А/В) (вероятность события А при условии, что событие В наступило).

Если никаких дополнительных условий не накладывается, то вероятность называется безусловной. Это – обычная, определенная выше вероятность.

Рассмотрим пример. Пусть в данной аудитории присутствует N студентов. Среди них N_A –любящих математику, N_B – любящих физику, N_АВ – любящих и математику, и физику. Лектор случайно выбирает одного студента. Введем следующие события:

А – случайно выбранный студент  любит математику, В – физику, АВ – и математику, и физику. На диаграммах Венна это выглядит так.

Тогда вероятности этих событий равны:

Рекомендуемые материалы

                                                                                              (2.1)

                                                                                                   (2.2)

                                                                                              (2.3)

Это безусловные вероятности.

Предположим теперь, что мы захотели узнать вероятность того, что случайно выбранный любитель физики любит еще и математику. В этом случае количество всех возможных исходов N_B (выбираем только любителей физики), а количество благоприятных исходов – N_АВ.

На диаграмме Венна это выглядит так

Тогда, учитывая (2.2) и (2.3), получим

==                                                         (2.4)

Мы рассмотрели частный случай. Введем в общем случае следующее формальное определение.

Определение. Пусть В – событие, имеющее ненулевую вероятность, а А произвольное событие.

Положим       .                                                                           (2.5)

Определенную таким образом величину Р(А/В) будем называть условной вероятностью события А при условии В.

Формула вероятности произведения событий

(теорема умножения вероятностей). Независимые события

Из формулы условной вероятности найдем вероятность события АВ и воспользуемся возможностью поменять А и В местами из-за коммутативности произведения событий. Из (2.5) получим

Р(АВ) = Р(В)·Р(А/В) = Р(А)·Р(В/А).                                                                     (2.6)

Вероятность совместного наступления двух событий (вероятность произведения этих событий) равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое событие произошло.

Теорема умножения вероятностей может быть обобщена на случай произвольного числа событий.

Вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятностей этих событий, причем вероятность каждого следующего по порядку события вычисляется при условии, что все предыдущие имели место.

                              (2.7)

Событие А будем называть независимым от события В, если

 P(A/B) = P(A),                                                                                                        (2.8)

т.е. если условная вероятность равна безусловной вероятности.

Два события называются независимыми, если наступление одного из них не изменяет вероятность другого. В противном случае события называются зависимыми.

События А₁, А₂,…, А_n называются независимыми в совокупности, если вероятность их произведения равна произведению их вероятностей

.                                                                                             (2.9)

Можно показать, что из попарной независимости не вытекает независимость в совокупности

Пример  1. Наугад вытаскивается одна карта из тщательно перетасованной колоды в 36 карт.

  А – вытащенная карта – дама;

4/36 = 1/9;

1) Дополнительная информация: произошло событие В – вытащена карта бубновой масти, 1/4,  =1/36.

      А и В – независимы.

2) Дополнительная информация: произошло событие С – вытащена «картинка» (валеты, дамы, короли), =12/36, =4/36.

 А и C – зависимы.

Пример 2. На плотной бумаге написано слово «стипендия»

Разрезав надпись на буквы и перемешав их, вытаскиваем наугад шесть букв.

Какова вероятность того, что из вытащенных букв в порядке вытаскивания получится слово «пенсия»?

Р(«пенсия») = Р(п)·Ре/п)·Р(н/пе)·Р(с/пен)·Р(и/пенс)·Р(я/пенси) =

                     =   1/9· 1/8   ·  1/7     ·   1/6      ·     2/5      ·            = 1/30240

Решая эту задачу методами комбинаторики, получим

Р(«пенсия») =.

Формула вероятности суммы совместных событий

(теорема сложения вероятностей)

В соответствии со свойством 3) классической вероятности вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий. А если события совместны?

Пусть мы имеем два совместных события А и В. Преобразуем их сумму в сумму несовместных событий (см. диаграмму Венна).

Подставляя второе выражение в первое, получим

.                                                             (2.10)

Пример. По мишени один раз стреляют два стрелка. Вероятность попадания первого стрелка в мишень р₁ = 0,7, второго – р₂ = 0,8. Какова вероятность того, что кто-нибудь из них попадет в мишень?

А = А₁ + А₂,               где      А попадание в мишень;

                                               А₁ – попал первый стрелок;

                                               А₂ – попал второй стрелок.

Р(А) = Р(А₁ + А₂) = Р(А₁) + Р(А₂) – Р(А₁А₂)=

                       = Р(А₁) + Р(А₂) – Р(А₁ )Р(А₂)=

                       = 0.7     +  0,8   –  0,7·  0,8 = 0,94.

Получим вероятность суммы трех совместных событий.

Получена формула

Р(А + В + С) = Р(А) + Р(В) + Р(С) – Р(АВ) – Р(АС) – Р(ВС) + Р(АВС)                                  (2.11)

Обобщая полученный результат на сумму n совместных событий, получим формулу

                     (2.12)

Формула полной вероятности

Пусть требуется определить вероятность события А, которое может произойти в сочетании с одним из событий Н₁, Н₂,…, Н _n, образующих полную группу несовместных событий (        Ø,            ). Эти события будем называть гипотезами.

В соответствии со свойством 3) вероятности и теоремой умножения вероятностей

                                                                                     (2.13)

Пример. Из n экзаменационных билетов студент знает m («хорошие билеты» ). Что лучше: брать на экзамене билет первым или вторым?

Решение. Введем событие А – студент взял «хороший» билет.

Студент берет билет первым. В этом случае

1) Студент берет билет вторым. Введем две гипотезы:

Н₁ – первый студент взял «хороший» билет, Н₂ =.

Вывод: безразлично, брать билет первым или вторым.

Формула Байеса (теорема гипотез)

В соответствии с теоремой умножения вероятностей

Р(АН_i) = Р(H_i)·Р(А/H_i) = Р(A)·Р(H_i/А).    

В это равенство подставим значение Р(А), вычисленное по формуле полной вероятности (2.13) и найдем Р(H_i/А).

                                                                        

Р(Н_i/A) =                                                  (2.14)

Это следствие из теоремы умножения и формулы полной вероятности называется формулой Байеса или теоремой гипотез.

В формуле полной вероятности определяется вероятность события до его появления, т.е. до того, как произведен опыт, в котором оно могло появиться. Вероятности гипотез Р(Н_i), входящие в формулу полной вероятности, называют априорными, т.е. «до опытными».

Пусть опыт произведен и его результат известен, т.е. мы знаем, произошло или не произошло событие А. Получившийся результат мог произойти при осуществлении какой-то одной гипотезы Н_i. Дополнительная информация об исходе опыта перераспределяет вероятности гипотез. Эти перераспределенные вероятности гипотез Р(Н_i/A) называют апостериорными , т.е. «после опытными».

Пример В одной из корзин 1 камешек и 4 кусочка хлеба, во второй – 4 камешка и 1 кусочек хлеба. Мышка наугад выбирает корзину, бежит к ней и  вытаскивает кусочек хлеба - событие А (предполагается, что он затем вновь возвращается в корзину). Какова вероятность события А? Каковы вероятности того, что второй раз мышка побежит к первой корзине, ко второй корзине? Какова вероятность того, что она второй раз вытащит  кусочек хлеба?

Рассмотрим гипотезы

Н₁ – мышка бежит к первой корзине,

Н₂ – мышка бежит ко второй корзине.

Р(Н₁) =1/2 = Р(Н₂)    (априорные вероятности)

Лекция "18 Современные представления о спортивной медицине" также может быть Вам полезна.

.

Р(Н₁/A)                            

Р(Н₂/A)       (апостериорные вероятности).

При втором подходе

Мышка обучилась, второй раз она выберет первую корзину с большей вероятностью и добьется большего успеха.

Заметим, что это – один из основных принципов обучения кибернетических систем.