Вероятность
Лекция1[1].
Вероятность
В теории вероятностей рассматриваются такие явления или опыты, конкретный исход которых не определяется однозначно условиями опыта (случаен), но по результатам большого числа экспериментов в среднем может быть предсказан (свойство статистической устойчивости).
Элементарным событием (элементарным исходом) называется любое событие - исход опыта, которое нельзя представить в виде объединения других событий. Так как исход опыта случаен, то и любое элементарное событие случайно, далее будем говорить просто о событиях, не подчеркивая их случайность.
Пространством элементарных событий W (исходов) называется множество всех элементарных событий (исходов). {w1, …wn …}, если в результате опыта обязательно наступает какой-либо из элементарных исходов и только один (один исход исключает любой другой). Пространство элементарных событий может содержать конечное, счетное и даже бесконечное множество элементарных событий.
Случайным событием (событием) называется подмножество пространства элементарных событий. Любое множество – это совокупность элементов. Элементами события являются элементарные события, образующие это событие.
Пример. Бросается одна монета, она может упасть гербом (w1=Г) или решкой (w1=Р). W=(Г,Р).
Рекомендуемые материалы
Пример. Бросаются две монеты W = {(Г, Г), (Г,Р), (Р,Г), (Р,Р)}
Пример. Капля дождя падает на прямоугольную площадку.
W= {(x,y), a<x<b, c<y<d}
Достоверное событие – событие, которое всегда происходит в результате данного опыта, оно содержит все элементарные события и обозначается W.
Невозможное событие – событие, которое не может произойти в результате данного опыта, оно не содержит элементарных событий и обозначается Æ.
Действия над событиями.
События определены как множества, поэтому действия над ними аналогичны действиям над множествами и хорошо иллюстрируются диаграммами Венна.
Пространство W будем обозначать прямоугольником, элементарное событие – точкой прямоугольника, а каждое событие – подмножеством точек этого прямоугольника. Результат операции над событиями будем заштриховывать.
Пусть выбираются карты из колоды карт. Событие А – выбор червонной карты, событие В – выбор десятки
Суммой двух событий А и В называется событие С = А + В (или С = АВ), состоящее из элементарных событий, принадлежащих либо А, либо В. Пример. С = А + В – выбор любой червонной карты или любой десятки | |
Произведением двух событий А и В называется событие D = AB (или D = AB), состоящее из элементарных событий, принадлежащих и А и В. Пример. АВ – выбор десятки червей | |
Разностью двух событий А и В называется событие АВ, состоящее из элементарных событий, принадлежащих А и не принадлежащих В. Пример. АВ –выбор любой червонной карты, кроме десятки
Классификация событий | |
Событие, состоящее из всех элементарных событий, не содержащихся в А, обозначим и будем называть противоположным событием. Пример. А –выбор червонной карты; –выбор любой карты другой масти.. = WА
Два события А и В будем называть совместными, если каждое из них содержит хотя бы одно общее элементарное событие, т.е если АВØ. Пример. А – выбор червонной карты и В – выбор десятки – совместные события, так как АВ = выбор червонной десяткиØ Если общих элементарных событий у событий А и В нет, то их будем называть несовместными событиями (АВ = Ø). Пример. А – выпадение четного числа очков А = {2, 4, 6}. В – выпадение нечетного числа очков В = {1, 3, 5} Очевидно, что А и В несовместны. Полная группа событий – это совокупность n событий А1, А2, …, Аn, одно из которых обязательно произойдет, т.е. |
Свойства операций над событиями
1. =Ø 6. А = А
2. А + А = А 7. А Ø = Ø Коротко. Если А В, то
3. А А = А 8 = А А + В = В
4. А + = 9. А В = А
5. А + Ø = А 10. = Ø
Коммутативность операций
А + В = В + А; А В = В А
Ассоциативность операций
А + (В + С) = (А + В) + С = А + В + С А(В С) = (А В) С = А В С
Дистрибутивность операции сложения относительно умножения
А (В + С) = А В + А С
Дистрибутивность операции умножения относительно сложения
А + (В С) = (А + В)(А + С)
Пример. Вычислим (A+B)(A+C)=AA+BA+AC+BC=A+BC.
В самом деле, BAÌA, ACÌA, AA=A, тогда AA+BA=A, A+AC=A.
Правило двойственности (теорема де Моргана)
Для всякого сложного события, выраженного через сумму и произведение (даже счетного количества) событий, противоположное событие может быть получено путем замены событий им противоположными и замены знака произведения на знак суммы, а знака суммы на знак произведения, при оставлении порядка операций неизменным
Пример.
Алгебра событий.
Пусть W - пространство элементарных событий. Алгеброй событий S называется такая система случайных событий S, что
1) SÉW, 2) " A, B Ì S Þ A+BÌS, ABÌS, ABÌS.
Следствие Æ= WW Ì S
Пусть W содержит конечное число элементов, W= {w1,…wn}. Тогда алгебру S можно построить как множество всех подмножеств W.
S={Æ, {w1}, … {wn}, {w1,w2}, …{w1,wn}, …{wn-1,wn}, …{w1, …,wn}}, в ней всего 2n элементов
Аналогично стоится алгебра для счетного числа событий.
Если в результате опыта стало известно, произошли или нет события A, B, то можно заключить, произошли или нет события , A+B, AB, AB, поэтому события должны выбираться из определенного класса – алгебры событий.
Для бесконечного (не счетного) числа событий класс событий должен быть сужен. Вводится s- алгебра событий.
Сигма-алгеброй (s-алгеброй) событий B называется непустая система подмножеств пространства элементарных событий, такая что
1) AÌBÞÞB,
2) A1, A2, …An, …ÌBÞ( A1+A2+ …+An+, …)ÌB, …ÌB.
Любая сигма-алгебра событий является алгеброй событий, но не наоборот.
Вероятность.
Классическое определение вероятности события
В классическом определении вероятности исходят из того, что пространство элементарных событий Ω содержит конечное число элементарных исходов, причем все они равновозможные.
Случаями называются равновозможные, несовместные события, составляющие полную группу.
В классическом определении вероятности мы находимся в рамках схемы случаев в том смысле, что элементарные события равновозможны, т.е. представляют собой случаи.
Пусть N – общее число случаев в Ω, а NА – число случаев, образующих событие А (или, как говорят, благоприятствующих событию А).
Определение. Вероятностью события А называется отношение числа NA случаев, благоприятствующих событию А к общему числу N случаев, т.е. P(A) = . Данное определение вероятности события принято называть классическим определением вероятности.
Примеры. 1. Бросание игральной кости. Ω = {w1, w2,…,w6} N = 6.
А – количество очков кратно трем А = {w3,w6} NA = 2.
.
2. Бросание 2-х игральных костей. Ω = {w11, w12,…,w66}; N =36.
wkl = (ak, bl), k,l =
А – сумма цифр (очков) равна 5. А = {(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)}; NA = 4
.
3. В урне а белых и b черных шаров. Опыт – вынимается один шар.
А – шар черный.
Исходя из классического определения вероятностей, легко доказать свойства вероятности:
1) Р(Ω) = 1 (NA = N);
2) 0 ( 0;
3) Если А В = Ø, то Р(А + В) = Р(А) + Р(В) ( NA+B=NA+NB)
и их следствия
4) Р(Ø) = 0 (NØ) = 0;
5) Р() = 1- Р(А) ( = Ø, Р(А) + Р() = 1);
6) Если , то Р(А) Р(В) (NA NB).
При практическом применении формулы классической вероятности наиболее сложным является определение общего числа равновозможных исходов и числа благоприятствующих исходов.
Здесь используется основной принцип комбинаторики: пусть некоторая операция Р представляет собой последовательность n операций Pk (k=1, …n), каждая из которых может быть выполнена mr способами. Тогда операция Р может быть выполнена способами.
Пусть мы делаем выборку поочередно m элементов (например, шаров) из n элементов. Мы можем возвращать очередной шар (в число n шаров), тогда при каждом очередном выборе мы будем иметь все те же n шаров. Такая выборка называется выборкой с возвращением. А можем и не возвращать шар, тогда при каждом выборе мы будем выбирать из все меньшего числа шаров. Такая выборка называется выборкой без возвращения. С другой стороны, мы можем учитывать порядок появления шаров. Такая выборка называется упорядоченной или размещением из n шаров по m шаров. Если порядок шаров при выборе не учитывается, важно лишь, какие шары выбраны, но не важно, в каком порядке, то такая выборка называется неупорядоченной или сочетанием из n шаров по m шаров. Выясним, сколькими способами можно произвести ту или иную выборку
Сочетания | Размещения | |
Без возвращения | ||
С возвращением |
Формулы для размещений легко получаются из принципа комбинаторики. Для того, чтобы перейти от размещений (без возвращений) к сочетаниям (без возвращений), нужно упорядочить выборки, т.е. исключить те из них, которые отличаются только порядком элементов. Выборки, отличающиеся только порядком элементов, называются перестановками. Число перестановок из m элементов равно Pm==m!. Поэтому .
Формулу для сочетаний с возвращением примем без доказательства (ее доказательство приведено в вып. ХV1 на стр. 50 – 51).
Пример. Производится выборка двух шаров (m=2) из урны, в которой находится 3 шара (n=3). Приведем эти выборки.
1) Размещения с возвращением
(1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3) (3,1) (3,2) (3,3) = 32 = 9.
2) Размещения (без возвращения) (1,2) (1,3) (2,1) (2,3) (3,1) (3,2) .
3) Сочетания с возвращением (1,1) (1,2) (1,3) (2,2) (2,3) (3,3)
4) Сочетания (без возвращения) (1,2) (1,3) (2,3) .
Пример. Задача о выборке бракованных деталей.
В партии из N одинаковых деталей M бракованных. Выбирается (не возвращая) n деталей. Какова вероятность того, что среди них окажется ровно m бракованных?
Общее количество случаев (сочетания из N деталей по n) равно . Мы выбираем m бракованных деталей среди M бракованных, но и одновременно выбираем (n-m) деталей без брака среди N-M деталей без брака. Тогда, по основному принципу комбинаторики, такому выбору благоприятствует случаев. Поэтому искомая вероятность равна .
Геометрическая вероятность
Формула классической вероятности применяется только в схеме случаев, что встречается довольно редко. Отношение Р(А)= NA/N представляет собой «долю» благоприятных исходов среди всех возможных исходов. Аналогичным образом подсчитывают вероятность события в некоторых более сложных случаях, когда имеется бесконечное число равновозможных исходов.
Событие А – волчок касается плоскости точкой из окрашенного сектора. Множество точек на ободе в окрашенном секторе имеет мощность континуума. Делим всю окружность на N маленьких одинаковых дуг. Число дуг на окружности, принадлежащих окрашенному сектору, пусть равно NA. . В общем случае имеется мера mes соответствующая (в нашем случае mes= 2) и мера mes А, соответствующая А (в нашем случае mesА = ) и т.д. |
Пример. Задача о встрече. Два студента договорились встретиться от 10 до 11 часов на определенном месте, причем первый пришедший на место ждет товарища 15 минут и уходит. Какова вероятность встречи?
Выберем начало системы координат в точке (10, 10). Отложим по осям системы координат x- время прихода первого студента, y – время прихода второго студента.
Тогда множество |x-y|<1/4, 0<x<1, 0<x<1, 0<y<1
содержит точки (события) встречи студентов. Его мера (площадь) mesA равна 1- (3/4)2 = 7/16. Так как mesW =1, то P(A) = 7/16.
Статистическая вероятность
Формулы классической вероятности и геометрической вероятности справедливы только для случая равновозможных исходов. В действительности мы на практике имеем место с неравновозможными исходами. В этих случаях можно определить вероятность случайного события, используя понятие частоты события. Допустим, что нам требуется определить вероятность того, что в испытании произойдет событие А. Для этого в одинаковых условиях проводятся испытания, в каждом из которых возможны два исхода: А и . Частотой события А будем называть отношение числа NA испытаний, в которых зафиксировано событие А к общему числу N испытаний.
Вероятностью события А называется предел частоты события А при неограниченном увеличении числа испытаний n, т.е. . Так определяется статистическая вероятность события.
Заметим, что по классическому, геометрическому и статистическому определениям для вероятности события P(A) выполнены три основных свойства:
P(A)³0, 2) P(W)=1, 3) P(A1+ …+An) = P(A1) + …+P(An), если A1, An попарно несовместны. Однако в этих определениях элементарные события предполагаются равновозможными.
А.Н. Колмогоров отказался от предположения равновозможности элементарных событий, ввел сигма-алгебру событий и распространил третье свойство на счетное число событий. Это дало возможность дать аксиоматическое определение вероятности события.
Аксиоматическое определение вероятности (по А.Н.Колмогорову).
Вероятностью P(A) называется числовая функция, заданная на сигма – алгебре событий, удовлетворяющая трем аксиомам:
1) не отрицательность P(A)³0, "AÎB - сигма – алгебре событий на W
2) нормировка P(W) = 1
3) расширенная аксиома сложения: для любых попарно несовместных событий A1, … An … выполнено
P(A1+ …+An+ …) = P(A1) + …+P(An) +…
(счетная аддитивность).
Итак, по А.Н. Колмогорову вероятность (вероятностная мера) это числовая неотрицательная нормированная счетно - аддитивная функция (множества – события), заданная на сигма – алгебре событий.
Если W состоит из конечного или счетного числа событий, то в качестве сигма – алгебры B может рассматриваться алгебра S событий. Тогда по аксиоме 3 вероятность любого события A равна сумме вероятностей элементарных событий, составляющих A.
Вероятностным пространством называется тройка (W, B, P).
Свойства вероятности
1) . В самом деле,, несовместны. По аксиоме 3 .
2) P(Æ) = 0. Так как "A A+Æ = A, по аксиоме 3 P(A+Æ) = P(A) + P(Æ) = P(A) ÞP(Æ) = 0
3) Если AÌ B, то P(A) £ P(B). Так как B = A+ BA, по аксиоме 3 P(B) = P(A) + P(BA), но по аксиоме 1 P(BA)³0
Пример. Из урны с четырьмя шарами с номерами 1, 2, 3, 4 три раза наугад вынимают шар и записывают его номер а) возвращая шары б) не возвращая шары. Какова вероятность 1) получить комбинацию 111, 2) из номеров шаров составить возрастающую последовательность?
"Вводная лекция" - тут тоже много полезного для Вас.
В случае а) имеем размещения с возвращением, N = 43, 1), NA=1, P = ¼3, 2) NA = , так как возрастающую последовательность можно составить всегда из не повторяющихся номеров, P = / 43 .
В случае б) N = ,1) P = 0, так как номера шаров не повторяются, то NA =0, 2) P = 1, так как N = NA = .
Пример. Пять человек садятся в поезд метро, состоящий из пяти вагонов. Какова вероятность того, что они окажутся в разных вагонах?
Общее число элементарных событий равно числу размещений с повторением из пяти элементов по пять N = 55. Число элементарных событий, составляющих А, равно 5! Поэтому Р = 5!/ 55.
[1] Лекции 1,2 написаны по лекциям В.Ф. Панова с добавлением авторского материала и примеров