Случайные величины
Лекция 3.
Случайные величины
Случайная величина – это величина (число), которая в результате опыта может принимать то или иное значение.
Более строго, случайная величина – это числовая функция случайного события.
Случайная величина называется дискретной, если множество ее значений конечно или счетно. Здесь - алгебра событий. Например, число очков на грани брошенной кости, число бросков монеты до появления герба – дискретные случайные величины.
Случайная величина называется непрерывной, если ее значения заполняют некоторый интервал, возможно, бесконечный. Здесь - сигма - алгебра событий. Например, расстояние от центра мишени при стрельбе, время до отказа прибора, ошибка измерения – непрерывные случайные величины.
Рассмотрим дискретную случайную величину, принимающую значения . Имеем полную группу (иначе, не все значения учтены) несовместных событий . Вероятности этих событий равны соответственно . Будем говорить, что дискретная случайная величина принимает значения с вероятностями .
Законом распределения дискретной случайной величины называется любое соотношение, устанавливающее зависимость между ее значениями и вероятностями , с которыми эти значения достигаются.
Основные формы закона распределения дискретной случайной величины: ряд распределения – таблица
Рекомендуемые материалы | ….. | |
….. |
Можно задать закон распределения в виде аналитической зависимости, связывающей значения и вероятности .
Рассмотрим непрерывную случайную величину. Для непрерывной случайной величины , поэтому рассматривают события и вероятности этих событий.
Функцией распределения непрерывной случайной величины называется вероятность события . =.
Свойства функции распределения.
1) по аксиомам вероятности,
2) , если , т.е. функция распределения – неубывающая функция. В самом деле, , следовательно, .
3) В самом деле, событие - невозможное, и его вероятность нулевая. Событие - достоверное, и его вероятность равна 1.
4) . Так как события несовместны и событие есть сумма этих событий, то .
График функции распределения имеет, примерно, следующий вид
Функцию распределения можно определить и для дискретной случайной величины. Ее график будет графиком ступенчатой функции со скачками в pi в точках xi , непрерывной слева в этих точках.
Для непрерывной случайной величины вводится плотность распределения вероятностей.
Плотностью распределения (вероятностей) называется производная функции распределения .
Ясно, что .
Часто функцию распределения называют интегральным законом распределения, а плотность распределения – дифференциальным законом распределения. Так как , то p(x)dx называется элементом вероятности.
Свойства плотности распределения.
1) , так как функция распределения – неубывающая функция,
2) (условие нормировки) , так как .
Числовые характеристики случайных величин.
Начальный момент s-го порядка
Для дискретных случайных величин .
Для непрерывных случайных величин .
Математическим ожиданием случайной величины называется ее первый начальный момент mx = M(x) = .
Для дискретных случайных величин . Если на числовой оси расположить точки с массами , то - абсцисса центра тяжести системы точек. Аналогично, для непрерывных случайных величин имеет смысл центра тяжести кривой распределения.
Свойства математического ожидания.
1) M (C ) = C.
Для дискретных случайных величин x = C, p = 1, M (C ) = x p =С.
Для непрерывных случайных величин по условию нормировки для плотности вероятностей.
2) M(CX) = С M(X). В самом деле, константу можно вынести из суммы в дискретном случае и из под интеграла в непрерывном случае.
3) M(X+Y) = M(X) + M(Y). (без доказательства).
4) M(|X|) = |M(X)| (без доказательства).
Математическое ожидание функции случайной величины вычисляют по формулам
для дискретной случайной величины,
для непрерывной случайной величины.
Центрированной случайной величиной называется .
Центральный момент s-го порядка
Для дискретной случайной величины .
Для непрерывной случайной величины .
Дисперсией называется второй центральный момент случайной величины.
По свойствам математического ожидания получим . Эта формула часто применяется. Дисперсия – это характеристика рассеяния, она характеризует концентрацию кривой распределения (графика плотности распределения) около математического ожидания. Если на числовой оси расположить точки xi с массами pi, то дисперсия – это момент инерции системы материальных точек относительно центра тяжести mx.
Для дискретных случайных величин .
Для непрерывных случайных величин .
Свойства дисперсии.
1) (под интегралом стоит квадрат функции).
2) (.
3) (выведите сами, вынося из под суммы или из под интеграла).
Средним квадратическим отклонением называется .
Кроме этих основных числовых характеристик используются коэффициент асимметрии , эксцесс – мера островершинности распределения , среднее арифметическое отклонение , мода – наиболее вероятное значение для дискретных величин или значение, где плотность максимальна для непрерывных величин, медиана Me – абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой плотности распределения, делится пополам (точка, в которой F(x) = ½).
Пример. Стрелок делает один выстрел и с вероятностью p попадает в мишень. Пусть X – количество попаданий в мишень. Это – дискретная случайная величина, принимающая два значения х1 = 0 и х2 = 1 с вероятностями q = 1-p, p соответственно. Построим ряд распределения Х
xi | 0 | 1 |
pi | q | p |
Функция распределения равна ,
Математическое ожидание равно M(X) = mx = 0 q + 1 p = p.
Если составить ряд распределения для случайной величины X2, то мы получим ту же таблицу (так как 02 = 0 и 12 =1). Поэтому M(X2) = p, а дисперсию можно вычислить по формуле D(X) = M(X2) – (mx)2 = p – p2 = p(1-p) = pq.
Лекция "16 Надежность отказоустойчивых систем (ОУС)" также может быть Вам полезна.
Пример. Пусть плотность случайной величины X постоянна на отрезке [a,b] p(x) = p и равна нулю вне этого отрезка. Такое распределение называется равномерным на отрезке [a,b]. Из условия нормировки для плотности вероятности следует
. Отсюда следует, что - плотность равномерного распределения. Функция распределения величины, распределенной равномерно на отрезке [a,b], равна
. Вычислим математическое ожидание и дисперсию величины, распределенной равномерно на отрезке [a,b].
,
=
=