Эргодические марковские цепи
§11 Эргодические марковские цепи.
11.1. Определение. Однородная марковская последовательность называется эргодической, если существует предел , который не зависит от состояния и выполняются условия:
1) , 2)
Замечание. Эргодические процессы, в отличие от обычных марковских процессов, "не помнят" точку старта.
Теорема 47 (достаточные условия существования эргодического распределения). Пусть - переходная вероятность за один шаг. Пусть существует такое, что . Тогда существует вектор , компоненты которого и , причем для
Доказательство. Из соотношения Чепмена-Колмогорова, имеем
.
Обозначим: Покажем, что при . Действительно
,т. е. .
Аналогично устанавливается неравенство .
Рекомендуемые материалы
Из соотношения Чепмена - Колмогорова следует, что
Таким образом для и , имеем отсюда следует неравенство
. (27)
Аналогичным образом легко показать
(28)
Вычтем из (27) (28), имеем . Выбирая кратное (например ), получаем, что . Отсюда следует при .
Доказательство закончено.
11.2. Теорема 48. Пусть имеется однородная марковская цепь , а - переходная вероятность за один шаг. Пусть . Тогда
1) ;
2) либо
3) если , то эргодического распределения не существует;
4) если то эргодическое распределение существует и единственно.
Доказательство. 1) .В силу леммы Фату .Рассмотрим
т. е.
Пусть существует индекс :
Следовательно
Мы пришли к противоречию. Значит наше предположение неверно, поэтому . (29)
2) Из утверждения 1) теоремы имеем
Значит для
"7. Экстремальные события на производстве" - тут тоже много полезного для Вас.
Устремляя в (29) , получаем
1) Если вектор , то он не является распределением вероятностей. Следовательно пункт 3) - доказан.
2) , следовательно - распределение вероятностей.
Доказательство закончено.