Случайные последовательности - основные определения

Глава 2. Случайные последовательности.

§ 1 Основные определения.

1.1. Пусть – измеримое пространство, кроме того, положим, что на  выделено семейство алгебр {F_n}_n>0 , обладающих свойствами:

а) для любого   ;

б)  для любых   и ;

в)

Определение. Семейство алгебр на , обладающих свойствами а), б), в) будем называть потоком  алгебр или фильтрацией. Измеримое пространство (,) с выделенной фильтрацией  будем называть фильтрованным измеримым пространством и обозначать через (,,).

Рекомендуемые материалы

Определение. Фильтрованным вероятностным пространством или стохастическим базисом называется четверка (,,, Р), где Р – вероятностная мера на фильтрованном измеримом пространстве, причем – пополнена множествами нулевой меры Р.

Замечание. Напомним, – пополнена множествами нулевой меры Р. Пусть любой элемент В, N_p  {A F: P(A) = 0}  и  к В добавим N_p, т.е. . С помощью множеств  построим новую алгебру, обозначаемую . Ясно, что  содержит - алгебра, её называют пополнением  относительно меры Р.

Определение. Будем говорить, что последовательность {со значениями в измеримом пространстве  согласована с фильтрацией , если при каждом n она - измерима , т.е.  { для любого ВE, и для нее будем использовать обозначение (,)_n>1.

1.2. Пусть на стохастическом базисе (,,,Р) задана согласованная последовательность {. Введем обозначения: а) F= алгебру, порожденную ,
б) F=, в) =эту алгебру называют обычно хвостовой.Очевидно, что -  - измерима.

1.3. Определение. Последовательность (,)_n>0 называется марковской, если Р - п. н. для любого  

Р(В|) = P(B|),                                                                         (1)

где   .

1.3.1 Замечание. В силу теоремы 11 главы 1 (теоремы Бореля) существуют для  борелевские функции , где  и такие, что Р - п. н. Р(В|) = , P(B|) = . Поэтому (1) можно переписать в виде Р - п. н.

.

1.4. Определение. Пусть Р: , обозначаемая через P(s,,t,B), s<t, называемая переходной вероятностью (вероятностью перехода) если :

1) при фиксированных s,t,B  P(- измеримая функция;

Лекция "Культура России" также может быть Вам полезна.

2) при фиксированных s,t,x P( вероятностная мера на .

Определение. Будем говорить, что {Р(s,,t,B)}-семейство переходных вероятностей марковского процесса  (,)_{t>0 ,}если Р(s,,t,B)= P) Р - п. н. для любых s,t,B.

Теорема 1 (Чепмен-Колмогоров). Пусть (,)_t>0 – марковская последовательность, а {Р(s,,t,B)} – соответствующее ей семейство переходных вероятностей. Тогда для любых  справедливо равенство

Р(s,,t,B) = .                                            (2)

Доказательство. Пусть , тогда Р -п.н.
Р(s,,t,B) = P) = P() = M()=M[M()|]=M[P()|]= =M[PF]=)P

Доказательство закончено.