Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов. Базис и размерность
Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов. Базис и размерность.
Определения линейной комбинации векторов, линейно зависимых, линейно независимых систем векторов, равно как и понятия базиса и размерности, которые были даны в первом семестре применительно к геометрическим и арифметическим векторам, без всяких изменений переносятся на случай произвольного линейного пространства. Здесь эти определения и доказанные на их основе теоремы заново формулироваться не будут. Напомним, что под системой векторов понимается, как и раньше, произвольная (состоящая не менее, чем из одного вектора) конечная последовательность векторов.
Здесь же мы рассмотрим интересный пример линейного пространства без базиса, т.е. такого линейного пространства, в котором любая линейно независимая система может быть расширена без утраты свойства линейной независимости.
С этой целью возьмем пространство функций 
(для произвольных вещественных 
) и зададим в нем систему функций 
для некоторого 
. Докажем, что эта система линейно независима для любого неотрицательного 
. Предположим противное - тогда для некоторого найдется нетривиальная линейная комбинация векторов указанной системы, обращающаяся в нуль. Поскольку нулевой вектор здесь - это функция, тождественно равная нулю на отрезке, то существование такой линейной комбинации равносильно тому, что многочлен 
, не все коэффициенты которого равны нулю, тождественно равен нулю. Разумеется, это невозможно. Отсюда следует, что заданная выше система векторов (функций) линейно независима при любом .
Определение 1.2 Линейное пространство, обладающее базисом, называется конечномерным.
Линейное пространство без базиса называется бесконечномерным.
В рамках нашего курса мы будем рассматривать только конечномерные пространства.
