Критерии предельного уровня

Лекция 2

Критерии предельного уровня.

Рассмотрим ситуацию, когда на продажу выставлен подержанный автомобиль. Указав предлагаемую цену, продавец должен в разумно короткий срок решить, приемлема ли она для него. С этой целью он может установить цену, ниже которой автомобиль не может быть продан (предельный уровень), и согласиться с первым же предложением цены, превышающим этот уровень.

В рассмотренной одношаговой процедуре принятия реше­ний использован критерий, который называют критерием предельного уровня. Использование критерия предельного уровня при принятии решений в условиях риска в общем случае не приводит к нахождению оптимального решения, например, максимизирующего прибыль или минимизирующего затраты. Скорее, он соответствует определению приемлемого способа действий. Действительно, если вернуться к ситуации с прода­жей подержанного автомобиля, то можно заметить, что одно из последующих предложений может оказаться более выгодным, чем первое предложение цены, превышающее предельный уро­вень.

Одним из преимуществ критерия предельного уровня явля­ется то, что его практическое использование не предполагает обязательного знания законов распределения соответствующих случайных величин. Однако знание этих законов позволяет не только избежать трудностей, связанных с формализацией раз­личных понятий, но и более обоснованно назначать предельный уровень.

Пример 4. Пусть величина спроса в единицу време­ни на некоторый товар, называемая интенсивностью спроса, является случайной величиной  с функцией плотности ве­роятностей:

Если в начальный момент времени запасы товара невелики, то в дальнейшем возможен дефицит товара, выражаемый случайной величиной . В противном случае к концу рассматриваемого периода запасы нереализованного товара могут оказаться лишком большими, т.е. могут образоваться излишки, которые выражаются случайной величиной . В обоих случаях неизбежны потери. В первом случае уменьшается потенциальная прибыль и возможна потеря клиентов, а во втором случае возрастают издержки, связанные с приобретением товара, и затраты на его складирование.

Возможный компромисс состоит в выборе решения, уста­навливающего определенный баланс между двумя видами по­терь. Определить потери, вызванные дефицитом товара, весь­ма сложно. Поэтому „лицо, принимающее решения", может установить необходимый уровень запасов L таким образом, чтобы величина ожидаемого дефицита не превышала А, а вели­чина ожидаемых излишков не превосходила В. Таким образом, в рассматриваемом случае

Рекомендуемые материалы

При этом из вида функции плотности вероятностей f(x) выте­кает, что L принадлежит отрезку [10,20] и, как следствие,

,

или, что то же самое,

Предельные значения А ожидаемого дефицита и В ожидаемых излишков должны быть выбраны так, чтобы оба полученных неравенства удовлетворялись хотя бы для одного значения

L. Так, например, если А= 2 и В = 4, то неравенства для опре­деления необходимого уровня запасов L принимают следующий вид:

Значение L принадлежит отрезку [10,20], так как именно в этом диапазоне изменяется величина спроса в единицу времени. Результаты расчетов, содержащиеся в табл.3, показывают, что оба ограничения удовлетворяются для любого [13,17] т.е. любые значения L из замкнутого интервала [13,17] удовле­творяют условиям исходной задачи.

Таблица 3

В общем случае критерии предельного уровня может быть использован и в задачах принятия решений в условиях неопре­деленности.

Критерий наиболее вероятного исхода.

В основе этого критерия лежит преобразование случайной ситуации к детер­минированной путем замены случайной величины ее единствен­но возможным значением, имеющим наибольшую вероятность реализации.

Пример 5. Если доход С от некоторого изделия пред­ставляет собой дискретную случайную величину с мно­жеством возможных значений то величина такая. Что

может рассматриваться как детерминированное значение дох да от этого изделия.

Критерий наиболее вероятного исхода можно рассматривать как упрощенный вариант некоторого более сложного критерия для принятия решений в условиях риска. Но это упрощение не связано с чисто аналитическими соображениями, а обу­словлено прежде всего тем, что с практической точки зрения знание наиболее вероятного исхода обеспечивает потребность деформации для принятия решений.

При использовании критерия наиболее вероятного исхода для принятия решений в условиях риска необходимо помнить о том, что, как и другие рассмотренные критерии, он не является универсальным. Чтобы понять это, достаточно представить две элементарные ситуации:

1)  - дискретная случайная величина, принимающая значения , общее количество п которых велико, причем

2) наибольшую вероятность реализации имеют несколько возможных значений дискретной случайной величины.

В обоих случаях критерий наиболее вероятного исхода явно не годится для принятия обоснованного решения.

«ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ ПРИ НЕПОЛНОЙ ИНФОРМАЦИИ»

Одноэтапные процедуры принятия решений в условиях неопределенности

При анализе одноэтапных процедур принятия решений в условиях риска мы уже отмечали, что практическое примене­ние критерия предельного уровня в общем случае не предпола­гает знания законов распределения случайных величин. Поэто­му критерий предельного уровня может использоваться и при принятии решений в условиях неопределенности. В этом пара­графе мы рассмотрим критерии, наиболее часто применяемые на практике:

1) критерий Лапласа;

2) минимаксный (максиминный) критерий;

3) критерий Сэвиджа;

4) критерии Гурвица.

Основное различие между критериями, перечисленными вы­ше, определяется стратегией поведения „лица, принимающего решения", в условиях неопределенности. Так, например, кри­терий Лапласа базируется на более оптимистичных предполо­жениях, чем минимаксный критерий, а критерий Гурвица, в свою очередь, можно использовать при различных подходах:

от наиболее пессимистичного до наиболее оптимистичного. Та­ким образом, перечисленные критерии, несмотря на их количе­ственную природу, отражают субъективную оценку ситуации, в которой приходится принимать решения.

К сожалению, не существует общих правил оценки практи­ческой применимости того или иного критерия при принятии решений в условиях неопределенности. Скорее всего, это свя­зано с тем, что поведение „лица, принимающего решения", обу­словленное неопределенностью ситуации, по всей видимости, является наиболее важным фактором при выборе подходяще­го критерия.

Напомним, что мы рассматриваем задачи принятия реше­ний в условиях неопределенности, когда выбор решения из мно­жества G допустимых решений осуществляется одним лицом. Специфической особенностью этих задач является отсутствие у „лица, принимающего решения", разумного противника. В случае, когда в роли противника выступает „природа", нет оснований предполагать, что она стремится принести вред „ли­цу, принимающему решения".

Информация, необходимая для принятия решений в услови­ях неопределенности, обычно представляется в форме матри­цы, i-я строка которой соответствует решению X, из множе­ства допустимых решений a j-й столбец соот­ветствует состоянию изучаемой системы S с множеством возможных состояний Каждому допустимому реше­нию и каждому возможному состоянию Sj изучаемой системы S соответствует результат:

определяющий выигрыш или потери при принятии данного Решения и реализации данного состояния. Таким образом, если множество G допустимых решений состоит из N элементов а система S может находиться в любом из m возможных состояний, то матрица

и является матрицей исходных данных для принятия решений в условиях неопределенности.

Если величина v{X_i,Sj) определяет доход (выигрыш), обу­словленный принятием решения и реализацией системой S возможного события Sj, то матрица N(G,S) является матри­цей дохода. Если же величина v(Xi,Sj) определяет затраты (потери, проигрыш), обусловленные принятием решения X, и реализацией системой S возможного состояния Sj, то матрицу N(G,S) называют матрицей потерь или матрицей за­трат.

Перейдем к рассмотрению конкретных критериев, наибо­лее широко используемых при принятии решений в условиях неопределенности.

Критерий Лапласа.

Для обоснования этого критерия, широко используемого в задачах принятия решений в условиях неопределенности, воспользуемся следующими соображениями, отражающими основную суть принципа недостаточного обоснования".

Поскольку вероятности пребывания изучаемой системы S в каждом ее возможном состоянии Sj, j = 1, т, не известны, то отсутствует и необходимая информация для вывода о том, что эти вероятности различны. В противном случае имела бы ме­сто ситуация принятия решений в условиях риска. Поэтому мы можем предположить равные вероятности реализации любых возможных состояний системы S. Таким образом, исходную задачу можно рассматривать как задачу принятия решении в условиях риска, когда выбирают решение обеспечивающее наибольший ожидаемый выигрыш, т.е.

,

Здесь учтено, что вероятности пребывания системы S в состояниях Sj, j = 1, m, одинаковы и равны 1/т. Сформулированный критерий называют критерием Лапласа.

Пример 1. Предприятие должно определить уровень предложения услуг таким образом, чтобы удовлетворить по­требности клиентов в течение предстоящих праздников. По предварительным прогнозам число клиентов может принять одно из следующих значений:

 = 200,   = 250,   = 300,   = 350.

Для каждого из этих возможных значений существует наилуч­ший с точки зрения возможных затрат уровень предложений  и совокупность этих уровней образует множество G из четырех элементов. Отклонения от уровней , приводят к до­полнительным затратам либо из-за неполного удовлетворения спроса, либо из-за превышения предложения над спросом. Мат­рица потерь в условных денежных единицах приведена ниже:

В данном случае m = N = 4, a ) — потери при уровне предложений , и реализации состояний Sj.

Натуральная школа - лекция, которая пользуется популярностью у тех, кто читал эту лекцию.

Имеем                                              

Таким образом,                               

и наилучшим уровнем предложения в соответствии с критерием Лапласа будет .