Гармонические функции
§9. Гармонические функции.
Напомним определение гармонических функций, данное в курсе «Теории поля» :
Определение. Функция u (x,y) называется гармонической , если она удовлетворяет уравнению Лапласа:
Пусть на области G задана аналитическая функция Эта функция удовлетворяет условиям Коши – Римана: , (§8). Так как аналитическая функция бесконечно дифференцируема, то и функции u и v так же бесконечно дифференцируемы. Продифференцируем первое условие по x , второе по y и сложим полученные равенства:
т.е. действительная часть аналитической функции – гармоническая. Если условия продифференцировать по у , по х и вычесть, то легко убедиться в гармоничности мнимой части. Таким образом, доказана
Теорема. Действительная и мнимая части аналитической функции являются гармоническими:
Вместе с этой лекцией читают "Свойства обратных матриц".
Ясно, что две произвольные гармонические функции, вообще говоря, не будут действительной и мнимой частями некоторой аналитической функции. Для этого они должны еще удовлетворять условиям Коши – Римана. Однако, по любой гармонической функции можно с точностью до константы определить вторую часть аналитической функции (т.е. саму аналитическую функцию).
Пример. Доказать, что может быть действительной частью аналитической функции и определить эту функцию.
{1.
2.
Из 2-го условия К – Р:
}