Производная ФКП. Аналитические функции. Условия Коши-Римана
§8. Производная ФКП. Аналитические функции. Условия Коши – Римана.
Пусть w = f (z) – однозначная функция, определенная в области 
.
Определение 1. Производной от функции f (z) в точке 
называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю:
Функция, имеющая производную в точке z, называется дифференцируемой в этой точке.
Очевидно, что выполняются все арифметические свойства производных.
Пример. 
С помощью формулы бинома Ньютона аналогично выводится, что 
Ряды для экспоненты, синуса и косинуса удовлетворяют всем условиям почленного дифференцирования. Непосредственной проверкой легко получить, что:
Рекомендуемые материалы
Замечание. Хотя определение производной ФКП формально полностью совпадает с определением для ФДП, но, по существу, является более сложным (см. замечание в §5).
Определение 2. Функция f (z) , непрерывно дифференцируемая во всех точках области G, называется аналитической или регулярной на этой области.
Теорема 1. Если функция f (z) дифференцируема во всех точках области G, то она является аналитической в этой области. {б/д}
Замечание. Фактически, эта теорема устанавливает эквивалентность регулярности и дифференцируемости ФКП на области.
Теорема 2. Функция, дифференцируемая в некоторой области, имеет бесконечно много производных в этой области. {б/д. Ниже ( в §13 ) это утверждение будет доказано при определенных дополнительных допущениях}
Представим функцию в виде суммы действительной и мнимой частей: 
Теорема 3. ( Условия Коши − Римана). Пусть функция f (z) дифференцируема в некоторой точке 
. Тогда функции u (x,y) и v (x,y) имеют в этой точке частные производные, причем
и 
, называемые условиями Коши – Римана.
{Так как значение производной не зависит от способа стремления величины 
к нулю, выберем следующий путь: 
Получаем: 
Аналогично, при 
имеем: 
, что и доказывает теорему.}
Верно и обратное утверждение:
Теорема 4. Если функции u (x,y) и v (x,y) имеют в некоторой точке непрерывные частные производные, удовлетворяющие условиям Коши – Римана, то сама функция f (z) – дифференцируема в этой точке. {б/д}
Теоремы 1 – 4 показывают принципиальное отличие ФКП от ФДП.
Теорема 3 позволяет вычислять производную функции по любой из следующих формул:
Ещё посмотрите лекцию "1 Общие сведения о ГИС" по этой теме.
При этом можно считать х и у произвольными комплексными числами и вычислять производную по формулам: 
Примеры. Проверить функцию на регулярность. Если функция регулярна – вычислить ее производную.
1. 
функция регулярна; 
2. 
функция не дифференцируема.
Замечание. Нетрудно видеть, что любая действительная функция комплексного аргумента – не дифференцируема.
