Определение основных элементарных функций. Формула Эйлера

§7. Определение основных элементарных функций. Формула Эйлера.

 Рассмотрим степенной ряд   Если  z − действительная переменная, то он представляет

 собой разложение функции   в ряд Маклорена и, следовательно, удовлетворяет

 характеристическому свойству показательной функции:   , т.е. . Это и является основанием для определения  экспоненциальной функции  в комплексной области :

Определение 1. .

   Аналогично определяются функции

Определение 2. 

Все три ряда сходятся абсолютно и равномерно в любой ограниченной замкнутой области комплексной плоскости.

Из трех полученных формул простой подстановкой выводится  формула Эйлера:

Рекомендуемые материалы

Отсюда сразу получается  показательная  форма записи комплексных чисел:

   Формула Эйлера устанавливает связь между обычной и гиперболической тригонометрией.

Рассмотрим, например, cos z: Аналогично получаются остальные соотношения. Итак:

Примеры. Представить указанные выражения в виде  

1.

2.  (выражение в скобках представляет собой число  i , записанное в показательной форме)

3.

Обратите внимание на лекцию "Часть 5".

4. Найти линейно независимые решения  линейного ДУ  2 – го порядка:  

Корни характеристического уравнения равны :

Так как мы ищем действительные решения уравнения, то в качестве фундаментальной системы решений можно взять функции

   Определим, в заключение, логарифмическую функцию комплексной переменной. Как и в действительной области, будем считать ее обратной к показательной. Для простоты рассмотрим только экспоненциальную функцию, т.е. решим уравнение  относительно  w , которую и назовем логарифмической функцией. Для этого прологарифмируем уравнение, представив  z  в показательной форме:

Если вместо  arg z  написать  Arg z (§2), то получим бесконечнозначную функцию