Функции комплексной переменной
§5. Функции комплексной переменной.
Пусть в комплексной плоскости задана некоторая область G и правило, по которому любому ставится в соответствие определенное число В этом случае говорят, что на области G задана однозначная функция , отображающая область G на W. Если одному значению z соответствует несколько чисел w , то такая функция называется многозначной.
Функция f(z) может быть представлена в следующем виде : w = f (z) = u(x,y) + iv(x,y), где u(x,y) = Ref (z), v(x,y) = Imf (z) – действительные функции двух переменных, являющиеся действительной и мнимой частями комплексной функции f (z).
Примеры. − функция комплексной переменной, принимающая только действительные значения.
2) последовательность комплексных чисел.
3) каждому значению аргумента z соответствует одно комплексное значение функции. Такие функции называются однозначными или однолистными.
4) каждому значению аргумента z соответствует три комплексных значения функции (см.§3). Такие функции называются многозначными или многолистными. Например, при имеем:
Понятия предела функции комплексного переменного (в частности, предела последовательности) и непрерывности вводятся аналогично тому, как это сделано для функций действительного переменного. Отличие заключается только в том, что вместо абсолютной величины действительного числа везде следует понимать модуль комплексного. Таким образом,
Рекомендация для Вас - 13 Чехия, Империя и Польша.
число C = a + bi является пределом функции при , или если .
Замечания. 1) Понятие предела ФКП (как и ФНП) является более сложным, нежели для функции одной действительной переменной. Это обусловлено существенно более многообразным стремлением аргумента ФКП (ФНП) к своей предельной точке.
2) Существование предела комплексной функции эквивалентно существованию пределов у двух действительных функций
Легко показать, что выполнены все арифметические свойства пределов.
Функция называется непрерывной в т. z0 , если Это равенство эквивалентно непрерывности функций u(x, y) и v(x, y) в т. (x0, y0). Из предыдущего сразу следует, что выполняются все арифметические свойства непрерывных функций.