Изолированные особые точки аналитической функции

§16. Изолированные особые точки аналитической функции.

Определение. Точка  z₀  называется изолированной особой точкой функции  f(z) , если   f(z)  −

однозначная и аналитическая функция в круговом кольце , а т. z₀  является

особой точкой функции  f(z). При этом, в самой т. z₀  функция может быть не определена.

  По теореме предыдущего параграфа функция  f(z)  может быть представлена в данном кольце

сходящимся рядом Лорана. Возможны три случая:

1. В  разложении функции нет слагаемых с отрицательными степенями.
2. Слагаемых с отрицательными степенями конечное число.
3. В  разложении присутствует бесконечно много слагаемых с отрицательными степенями.

 Рассмотрим каждый из этих случаев.

1) Ряд Лорана не содержит отрицательных степеней  величины .

Можно доказать, что в этом случае существует предел  равный  с₀ . Если

Рекомендуемые материалы

доопределить (или переопределить) функцию в т. z₀  значением  с₀ , то мы получим функцию, аналитическую в круге . Поэтому особые точки рассмотренного вида называют

устранимыми особыми точками. Если разложение начинается с k-ой степени ( k > 0 ), то

точку  z₀   называют нулем  k-го порядка функции  f(z).

2) Ряд Лорана содержит конечное число отрицательных степеней: .

При выполнении указанного условия точку  z₀  называют полюсом m-го порядка. Доказывается,

 что предел аналитической функции при  в этом случае будет равен ∞.

   Легко видеть, что функция в т. z₀  в первом случае будет иметь полюс k-го

порядка, а во втором – ноль  m – го порядка.

3) Ряд Лорана содержит бесконечное число слагаемых  членов разложения в отрицательных

степенях. Точка  z₀  называется в этом случае существенно особой точкой  функции  f(z).

   Поведение функции в окрестности существенно особой точки описывается теоремой:

Ещё посмотрите лекцию "12.4 Социально-экономическое развитие страны в пореформенный период" по этой теме.

Теорема.  Для любого числа  С  и любого  ε > 0  в любой окрестности  z₀   найдется  точка, значение функции в которой  будет отличаться от  С  (по модулю) меньше чем на  ε , т.е.:

                {б/д}

    Для всех сформулированных утверждений верны обратные. Поэтому часто используют геометрическую классификацию изолированных особых точек  z₀:

  Точка   z₀   называется устранимой особой точкой, если существует конечный предел функции при .  Ряд Лорана не содержит отрицательных степеней  величины .

   Точка   z₀  называется полюсом  функции  f(z), если  Ряд Лорана  содержит конечное число отрицательных степеней  величины .

    Точка   z₀  называется существенно особой точкой  функции  f(z), если при  предела не существует  (конечного или бесконечного). Ряд Лорана  содержит бесконечное число отрицательных степеней  величины .