Следствия интегральной формулы Коши
§13. Следствия интегральной формулы Коши.
Рассмотрим односвязную область G , ограниченную замкнутым контуром Г. Пусть задана функция , удовлетворяющая следующим условиям:
1. является аналитической функцией переменной z в области G.
2. Функции непрерывны по совокупности переменных z и .
В этом случае существует функция F(z) = как интеграл, зависящий от параметра z, определенная для .
Можно доказать, что при указанных предположениях F(z) является аналитической функцией
комплексной переменной z во всей области G , причем производную этой функции можно вычислять под знаком интеграла.
Рассмотрим теперь произвольную замкнутую подобласть , расстояние от всех точек которой до границы Г больше некоторого положительного числа d : Функция − функция, аналитическая в области G , удовлетворяет условиям (1)
и (2) . В свою очередь, функция f(z) во всех точках области D представляется
Рекомендуемые материалы
интегралом Коши:. Пользуясь предыдущим утверждением, вычислим
ее производную с помощью дифференцирования под знаком интеграла:
.
Повторяя данные рассуждения, окончательно получим:
Аналитическая в области G функция бесконечно дифференцируема в этой области, а ее
производные удовлетворяют соотношению:
или .
"13 Княжеские съезды" - тут тоже много полезного для Вас.
Полученные формулы часто используются при вычислении интегралов.
Пример. Вычислить интегралы: и .
{1. Точка z = − i лежит внутри данной окружности, а функция , поэтому .
2. . }
Можно вычислять интегралы и в том случае, когда подынтегральная функция имеет несколько указанных особенностей в точках, лежащих внутри контура интегрирования, используя следствие теоремы Коши (§11). При этом необходимо учитывать, что регулярные части функции будут отличаться друг от друга в каждой особой точке.
Пример. .