Квадратичные формы и нецентральные распределения - суммы квадратов
Глава 5 Квадратичные формы и нецентральные распределения
На квадратичные формы относительно нормально распределённых векторов случайных переменных обращалось внимание с самого начала разработки теории статистического линейного моделирования. Они играют важную роль в статистическом анализе линейных моделей. Для квадратичных форм получены общие теоремы, по которым дисперсионный анализ и связанные с ним проверки гипотез являются просто частными случаями.
5.1. Суммы квадратов
В главах 3 и 4 обсуждались некоторые свойства линейных функций вектора у случайных переменных. Рассмотрим теперь квадратичные формы от этого вектора. В дисперсионном анализе используется разделение суммы квадратов элементов вектора у на составляющие суммы квадратов, чьи отношения, при соответствующих условиях, приводят к получению имеющих распределение F статистик. Они используются для проверки определённых статистических гипотез. В статистическом линейном моделировании суммы квадратов значений случайных переменных удобно выражать в виде квадратичных форм вида yТAy, где у - вектор значений случайных переменных и A - симметричная матрица некоторых числовых значений.
Пример 5.1. Представим некоторые простые суммы квадратов в виде квадратичных форм от вектора у. Пусть значения y1, y2,..., уn будут случайной выборкой из n популяций значений случайных переменных y1, y2,..., уn с общими средним y и дисперсией s2. В приведённом ниже тождестве к сумме квадратов значений переменных справа прибавим и вычтем п квадратов их усреднённого значения 2. В силу (1.4.3), имеем:
=(–n)+n
=+n. (5.1.1)
Так как сумма квадратов равна произведению yТy, то её можно представить в виде квадратичной формы с единичной матрицей I
=yТy=yТIy,
Рекомендуемые материалы
где yТ=[y1, y2,..., уn]. Используя вектор 1Т=[1, 1,..., 1], усреднённое можно записать в виде
==1Тy/n.
Тогда n усреднённых в квадрате принимает следующий вид
n=n(1Тy/n)2=n(1Тy/n)(1Тy/n)
=yТ11Тy/n [так как 1Тy=yТ1]
=yТЕy/n [где Е=11Т]
=yТ(Е/n)y.
Теперь сумму можно записать в виде квадратичной формы
=–n
=yТIy–yТ(Е/n)y
=yТ(I–Е/n)y. (5.1.2)
Следовательно, выражение (5.1.1) можно переписать в квадратичных формах так
yТIy=yТ(I–Е/n)y+yТ(Е/n)y. (5.1.3)
"Баллады Жуковского" - тут тоже много полезного для Вас.
□
Матрицы трех квадратичных форм выражения (5.1.3) обладают следующими свойствами:
1. I=(I–Е/n)+Е/n.
2. Матрицы I, I–Е/n и Е/n идемпотентные, так как, в силу (П.2.15), (Е/n)(Е/n)=11Т11Т/n2=11Т/n=Е/n.
3. (I–Е/n)(Е/n)=O.
Используя в этой главе приведенные далее теоремы и полагая, что случайные переменные, являющиеся элементами вектора у, распределены по нормальному закону, эти три свойства приводят к тому, что отношения /s2 и n/s2 имеют распределения хи-квадрат и статистически независимы.