Векторы случайных переменных и их анализ - обозначения

Глава 3  Векторы случайных переменных и их анализ

В этой главе для векторов и матриц случайных переменных получаются обобщения результатов, имеющихся для одной и двух случайных переменных, а также приводятся новые.

3.1. Обозначения

Матрицы и векторы в этой книге обозначаются соответственно заглавными и строчными буквами жирным шрифтом, например А и a, а скаляры курсивными буквами, например, а. Случайные переменные обозначаются последними буквами латинского алфавита, например, у, а их значения - курсивными буквами, например, у.

Если х и у - случайные переменные, то символы E(у), D(у), C(х, у) и E(х|у=у) или, более кратко, E(х|у) представляют соответственно математическое ожидание, дисперсию, ковариацию и условное математическое ожидание.

Матрица размеров пхп с диагональными элементами d₁, d₂, ..., d_n и остальными равными нулю обозначается диаг[d₁, d₂, ..., d_n], а когда все диагональные элементы равны единице, то имеем единичную матрицу I_n.

Если а – некоторый вектор-столбец размеров пх1 с элементами а₁, а₂, ..., а_п, то пишем а= (а_i)=[а₁, а₂, ..., а_п]^Т, а длина или норма вектора а обозначается ||а||. Таким образом

||а||==(а_l²+а₂²+...+а_п²)^1/2.

Вектор размеров пх1 со всеми элементами равными единице обозначается 1_n, а множество всех векторов, имеющих п элементов, обозначается R_n.

Рекомендуемые материалы

Если некоторая матрица А размеров mхn имеет элементы а_ij, то пишем А=(а_ij). Сумма её диагональных элементов называется следом матрицы А и обозначается след(А)=а_l1+а₂₂+...+а_kk, где k – равно меньшему m или n. Транспонирование матрицы А представляется в виде А^Т=(а_ij^Т), где а_ij^Т=а_ji. Если матрица A квадратная, то её определитель записывается det(A), а если эта матрица невырожденная, то её обратная обозначается А^–1. Образованное столбцами матрицы А пространство называется пространством столбцов матрицы А и обозначается Ст(А).

Если случайная переменная (у) имеет распределение по нормальному закону с математическим ожиданием E(у)=y и дисперсией D(у)=s², то это записывается в виде у~N[y, s²]. Переменная z имеет стандартное нормальное распределение, если её математическое ожидание E(z)=0 и дисперсия D(z)=1. Распределения c² (хи-квадрат) и t с k степенями свободы обозначаются соответственно c²(k) и t(k), а распределение F со степенями свобода m и п обозначается F(m, п).

Если Вам понравилась эта лекция, то понравится и эта - Молодежные субкультуры.

Обозначение у~N_n(y, S) означает, что вектор у случайных переменных имеет размеры пх1 и распределён по нормальному закону в п-мерном пространстве R_n с вектором y математических ожиданий и матрицей S дисперсий и ковариаций. Здесь вектор y имеет размеры пх1 и матрица S=S_nn. Иногда подстрочный индекс в обозначении N_n(y, S) опускается, если из контекста ясно каковы размеры вектора с этим распределением.

Обозначение у~(y, S) означает, что вектор у случайных переменных имеет вектор y математических ожиданий и матрицу S дисперсий и ковариаций. Это обозначение указывает только первые два момента вектора у, но не форму его распределения. Так, из обозначения у~N_n(y, S) следует, что у~(y, S), но из у~(y, S) не следует, что у~N_n(y, S).

Обозначение у~х означает, что векторы у и х случайных переменных имеют одинаковое распределение. Однако это не значит, что у=х. Если g(х) и g(y) –функции векторов х и у, и у~х, то g(y)~g(х). При этом функция g( ) может иметь скалярные или векторные значения.

Знак □ используется для указания конца доказательства теоремы, следствия или примера.

Предполагается, что читатель обладает базовыми знаниями линейной алгебры. Для короткого знакомства доступны несколько книг [например, Беклемишев (2006), Harville (2008)]. Некоторые результаты теории матриц включены в приложение в конце книги и ссылки на них даются, например, в виде П.2.3.

В рассмотренных выше различных моделях влияющие на отклик переменные или факторы могут быть, а могут не быть случайными. Например, дискретные влияющие переменные не случайные. Со случайными факторами моделирование осуществляется условно относительно их наблюдаемых значений, при условии, что они измеряются точно (или, по крайней мере, с достаточной точностью). В этой книге статистическое моделирование используется для случаев, когда факторы не являются случайными. Но когда погрешности их измерений не могут быть проигнорированы, то теория должна быть изменена.