Теоремы свертки и запаздывания

Теоремы свертки и запаздывания.

            Теорема. (теорема запаздывания) Если f(t) = 0 при t < 0, то справедлива формула

где t₀ – некоторая точка.

            Определение. Выражение  называется сверткой функций f₁(t) и f₂(t) и обозначается f₁* f₂.

            Теорема. (теорема свертки) Преобразование Лапласа от свертки равно произведению преобразований Лапласа от функций f₁(t) и f₂(t) .

 

            Теорема. (Интеграл Дюамеля (Дюамель (1797 – 1872) – французский математик)). Если , то верно равенство

Рекомендуемые материалы

            Для нахождения изображений различных функций наряду с непосредственным интегрированием применяются приведенные выще теоремы и свойства.

            Пример. Найти изображение функции .

Из таблицы изображений получаем: .

По свойству интегрирования изображения получаем:

            Пример. Найти изображение функции .

Из тригонометрии известна формула . 

Тогда =.

            Операционное исчисление используется как для нахождения значений интегралов, так и для решение дифференциальных уравнений.

            Пусть дано линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами.

            Требуется найти решение этого дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям:

            Если функция x(t) является решением этого дифференциального уравнения, то оно обращает исходное уравнение в тождество, значит функция, стоящая в левой части уравнения и функция f(t) имеет (по теореме единственности) одно и то же изображение Лапласа.

            Из теоремы о дифференцировании оригинала {} можно сделать вывод, что

            Тогда

            Обозначим

Получаем:

Это уравнение называется вспомогательным (изображающим) или операторным уравнением.

            Отсюда получаем изображение , а по нему и искомую функцию x(t).

            Изображение получаем в виде:

Где

Этот многочлен зависит от начальных условий. Если эти условия нулевые, то многочлен равен нулю, и формула принимает вид:

Рассмотрим применение этого метода на примерах.

            Пример. Решить уравнение

            Изображение искомой функции будем искать в виде:

Находим оригинал, т.е. искомую функцию:  

            Пример. Решить уравнение

            Пример. Решить уравнение:

Изображение искомой функции

Для нахождения оригинала необходимо разложить полученную дробь на элементарные дроби. Воспользуемся делением многочленов (знаменатель делится без остатка на p – 1):

p³ – 6p² + 11p – 6          p - 1

                                                   p³ – p²                             p² – 5p + 6

                                                         -5p² + 11p

                                                         -5p² + 5p

                                                                     6p - 6

                                                                     6p - 6

                                                                             0   

            В свою очередь

Получаем:

Тогда:

Определим коэффициенты А, В и С.

Тогда

Приемы операционного исчисления можно также использовать для решения систем дифференциальных уравнений.

            Пример. Решить систему уравнений:

           

            Обозначим  - изображения искомых функций и решим вспомогательные уравнения:

            Решим полученную систему алгебраических уравнений.

            Если применить к полученным результатам формулы

то ответ можно представить в виде:

            Как видно, гиперболические функции в ответе могут быть легко заменены на показательные.

            Пример. Решить систему уравнений

   при x(0) = y(0) = 1

            Составим систему вспомогательных уравнений:

Обратите внимание на лекцию "20 - Накопитель магнитных дисков - гибкий и жесткий".

           

           

            Если обозначить  то из полученного частного решения системы можно записать и общее решение:

            При рассмотрении нормальных систем дифференциальных уравнений этот пример был решен традиционным способом (См. Другой способ решения.). Как видно, результаты совпадают.

            Отметим, что операторный способ решения систем дифференциальных уравнений применим к системам порядка выше первого, что очень важно, т.к. в этом случае применение других способов крайне затруднительно.