Нелинейные функции моделей

2.5. Нелинейные функции моделей

Ранее отмечалось, что моделирование зависимостей в физических, химических, биологических и инженерных науках часто направлено на создание некоторой функции

Е(y)= f(ξ₁, ξ₂,…, ξ_p),                                                  (2.5.1)

связывающей математическое ожидаемое (среднее) случайной переменной (y) отклика с p влияющими на неё переменными ξ₁, ξ₂,…, ξ_p, такими как температура, время, давление, концентрация и так далее. В некоторых случаях моделирования могут рассматриваться несколько переменных отклика, например, процентный выход вещества y₁, его чистота y₂, вязкость y₃ и так далее. Для каждой из них существует своя функция зависимости от влияющих переменных. Целью статистического моделирования является создание таких моделей, которые описывают зависимости различных случайных переменных у₁, у₂, ... отклика от влияющих на них переменных ξ₁, ξ₂,…, ξ_р. Эти переменные тоже могут быть случайными, но в этой книге рассматриваются только неслучайные факторы.

В простейшем случае рассматривается зависимость только между двумя переменными, такими как рост и вес, размер популяции и время, температура и давление газа в некотором определённом объёме и так далее. Если имеются n пар наблюдений этих переменных (ξ_i, у_i), где i=1, 2, ..., n, то их можно представить в виде графика и постараться провести непрерывную линию таким образом, чтобы эти точки были к ней как можно ближе. Очевидно, что линия не пройдёт прямо по точкам, так как, по крайней мере, отклик подвержен случайным изменениям из-за воздействия других не находящихся под контролем влияющих переменных. Даже если считать, что между температурой и давлением существует точная зависимость по известному закону, тем не менее, из-за ошибок измерений на графике будут присутствовать случайные отклонения. Простейшая статистическая модель зависимости отклика от одного фактора изображается прямой линии.

Статистические модели разрабатываются для определённых целей. Важной целью является попытка установить причинно-следственную связь посредством изучения взаимодействия между переменными. Обычно, представляет интерес переменная отклика и изучается, как она зависит от влияющих на неё входных переменных или факторов. Статистическая модель не подразумевает обязательно причинную зависимость, но присутствие некоторой статистической зависимости даёт исходное начало для дальнейшего исследования. Когда есть уверенность, что существует статистическая зависимость, то можно попытаться сформулировать эту зависимость математически и использовать полученную модель для оценки и предсказаний. Однако необходимо иметь ввиду, что эта модель может быть неприменима для предсказаний за пределами области значений факторов, в которой она была построена.

Кроме предсказаний и объяснений, другой целью разработки статистических моделей является проверка научных гипотез в той или иной области знаний [Seber, Lee (2003) стр. 3], как показано в следующих простых примерах.

Пример 2.1. Закон Ома выражается формулой: V=RI, где I - электрический ток через проводник сопротивлением R и V - приложенное к проводнику напряжение. Это выражение представляет зависимость напряжения от тока и изображается прямой линией, проходящей через начало координат. Таким образом, линейный график, построенный по результатам измерений величины напряжения при заданных значениях тока, даст подтверждение этому закону.

Пример 2.2. Из теории гравитации известно, что сила гравитации F между двумя объектами задаётся выражением F=a/d^b. В нём d - расстояние между объектами и a - некоторая постоянная, связанная с массами двух объектов. Известный закон обратных квадратов гласит, что b =2. Постановкой эксперимента по измерению силы взаимодействия между двумя объектами можно проверить насколько он подтверждается.

Рекомендуемые материалы

Пример 2.3. В теории экономики используется функция Q=aL^b K^g для зависимости Q (количества произведённого товара) от L (количества затраченного труда) и K (количества вложенного капитала). Здесь a, b и g являются постоянными, зависящими от вида товара и используемого рынка. Можно оценить эти параметры для определённого рынка и применить полученную модель для предсказания последствий вложения капитала на состояние этого рынка.

Из этих примеров видно, что разработанные на основе теоретических рассмотрений модели можно использовать

(а) для подтверждения правильности теории (как в примере с законом Ома),

(б) для проверки имеет ли параметр предсказанное теорией значение, при условии, что модель верна (как в примере с гравитацией и законом обратных квадратов) и

(в) для оценки неизвестных постоянных, при условии, что модель верна, и использования модели для предсказаний (как в примере из экономики).

Для любой зависимости представляет интерес изучение воздействий, которые оказывают рассматриваемые факторы на переменную отклика. Это может быть простая зависимость отклика от факторов, но в большинстве физических процессов это скорее исключение, чем правило. Часто существует зависимость, которую сложно понять или просто описать. В этом случае можно аппроксимировать эту зависимость некоторой простой математической функцией, такой как полином, содержащей соответствующие факторы и приблизительно описывающей истинную функцию в некоторой ограниченной области изменений значений факторов [Draper, Smith (1998) стр.15-16]. Успешное использование статистического моделирования серьёзно зависит от способности исследователя разработать пригодную аппроксимирующую функцию. Используя такую функцию можно узнать больше об изучаемой зависимости и оценить отдельные и совместные воздействия, создаваемые изменением значений влияющих на отклик факторов.

Теоретические функции

Получение функций изучаемых зависимостей на основе имеющихся теоретических знаний требует понимания исследуемого объекта и хороших теоретических знаний. Теоретические функции строятся на основе известных законов, которые, как полагается, применимы для описания изучаемых зависимостей. Например, в физике это законы Ньютона, Ома, Кирхгоффа, идеального газа и многие другие. Получаемые на основе этих законов теоретические функции почти всегда являются нелинейными. В англоязычной литературе теоретические функции часто именуют механистическими (mechanistic), так как они описывают механизм функционирования объекта исследования.

Большинство инженерных наук содержат большие объёмы теоретических знаний, которые применяются для формулировки и решения практических проблем. В качестве примера, положим необходимо определить, какова величина тока, протекающего по изучаемому участку электрической цепи? Используя законом Ома можно записать зависимость ожидаемой величины тока от приложенного к данному участку цепи напряжения в виде

Е(I)=b V                                                        (2.5.2)

где b =R^–1 - обратная величина сопротивления (электропроводность) данного участка цепи. Так получается функция статистической модели на основе известного закона.

Теоретические описания изучаемых зависимостей подразделяются на статические и динамические. Динамические описания отличаются от статических тем, что включают переменную времени. Эти описания зависимостей в свою очередь делятся на линейные и нелинейные, непрерывные и дискретные, с сосредоточенными и распределёнными параметрами. В инженерных науках при построении теоретических функций изучаемых зависимостей используются законы сохранения и баланса. Ими, например, являются законы сохранения массы и энергии. Однако механическая, тепловая, электрическая энергии и энтропия не сохраняются, а переходят из одного вида в другой и на этой базе возможно создание уравнения баланса энергий. На основе упомянутых законов могут быть построены теоретические функции зависимостей в явном и неявном видах.

Как только на основании имеющихся знаний об изучаемом объекте теоретическая функция исследуемой зависимости определена, то вместе с известными физическими постоянными часто необходимо оценить входящие в эту функцию неизвестные постоянные. Для оценки этих постоянных используется нелинейный метод наименьших квадратов, который является итеративным и более сложен, чем используемый для оценки параметров статистических линейных моделей.

Найденная теоретическая функция позволяет дать лучше объяснимые предсказания и с ней можно выполнить более обоснованный анализ изучаемого объекта. Теоретическая функция отклика от влияющих переменных позволяет анализировать степень влияния каждой из них на отклик. В отличие от интерполирующей функции, в которой параметры выражают только степень влияния факторов на отклик, все входящие в теоретическую функцию постоянные имеют определённый физический смысл. Таким образом, в то время как интерполирующие функции используются чаще для предсказаний, теоретические функции могут использоваться для обоснованного объяснения изучаемой зависимости и нахождения путей её совершенствования по заданному критерию.

Другой критерий сравнения интерполирующей и теоретической функций основан на затратах их получения. Из-за сложности многих изучаемых зависимостей нахождение необходимой теоретической функции является действительно очень дорогим в исчислении интеллектуального труда затрачиваемого специалистом в данной области. Так как нахождение теоретической функции требует подробного изучения моделируемой зависимости, то некоторые затраты окупаются за счёт приобретённого объёма знаний об изучаемом объекте. Тем не менее, такие преимущества неосязаемы и часто в расчёт не принимаются.

На практике нахождение требуемых интерполирующих функций может быть также дорогим. Оно требует большого числа надёжных эмпирических данных отклика, которые во многих случаях могут быть получены эффективно только постановкой планируемых экспериментов. Затраты на планирование и проведение экспериментов могут превзойти расходы по найму специалиста для разработки теоретической функции. Однако большое преимущество разработки интерполирующей функции заключается в том, что даёт некоторую форму рабочей модели за более короткий промежуток времени.

Следствием сказанного является то, что необходимо задаваться вопросом: для чего предназначается создаваемая функция отклика? Если она предназначается для разработки алгоритмов контроля или точного предсказания, то необходима интерполирующая функция. Однако если необходима функция для разработки нового изделия или процесса или для описания зависимости, которая может использоваться для устранения неисправностей или способна указать на существенные улучшения, то, возможно, лучше разработать теоретическую функцию отклика. Но разрабатываемая для этих целей теоретическая функция может получиться сложной для анализа. Поэтому установленные на основе получения этой функции, влияющие на отклик переменные можно использовать для построения более простой интерполирующей функции. Такая функция в линейной форме показывает воздействие этих переменных на отклик, что для анализа много проще и может использоваться для разработки нового изделия или процесса.

Создание теоретических функций

В качестве примера создания теоретических функций объектом моделирования выбран процесс течения сжатого воздуха через пневматический прибор для линейных измерений манометрического типа, схема которого показана на Рис.2.5.1.

В приборе на Рис.2.5.1 сжатый воздух под постоянным рабочим давлением Р_s поступает сначала во входной дроссель, а затем через рабочую камеру в кольцевой зазор между торцом выходного сопла и заслонкой. Измеряемое манометром давление Р_и в рабочей камере меняется обратно пропорционально величине зазора S между торцом выходного сопла и заслонкой.

Рис. 2.5.1. Схема пневматического прибора для линейных измерений

Пневматические измерения линейных размеров заключаются в определении размерных отклонений на основе проведения измерительных экспериментов и включают оценки связанных с этим неопределённостей. Для обработки данных экспериментов необходима математическая модель зависимости давления Р_и от величины зазора S между соплом и заслонкой, как показано на Рис.2.5.1. Эта модель необходима для извлечения измерительной информации из данных эксперимента. Модель должна точно описывать, как меняется величина давления Р_и в зависимости от величины S, и она является ключевым звеном для извлечения измерительной информации. Качество получаемой информации будет прямо зависеть от качества модели.

В пневматических измерениях линейных размеров манометрическими приборами используемая модель описывает установившуюся зависимость величины давления Р_и от величины S зазора. Теоретически эту модель можно разработать на основе рассмотрения установившихся потоков сжатого воздуха через входной дроссель и дроссель сопло-заслонка. В этом случае рабочим телом является сжатый воздух. Поэтому основными уравнениями, необходимыми для получения модели, являются уравнения, описывающие законы движения воздуха.

Использование известных законов

Рассмотрим воздух как идеальный газ, то есть газ, в котором частицы перемещаются одна относительно другой без трения. Положим, что движение газа установившееся и его свойства в данном сечении остаются постоянными, то есть, давление и температура не меняются. Тогда, если обозначить v – скорость движения газа, р – давление, g – ускорение силы тяжести, w – удельный вес газа и z –действующую вертикально силу тяжести, то уравнение Бернулли в дифференциальной форме можно записать в виде

dv²/2+gdp/w+gdz=0.                                                 (2.5.3)

Интегрируя выражение (2.5.3), получаем закон живой силы для движущегося воздуха

v²/(2g)++z=H.                                                   (2.5.4)

Постоянная интегрирования Н представляет полный напор, развиваемый движущимся воздухом. Как видно из уравнения (2.5.4), он равен сумме напоров: скоростного v²/(2g), пьезометрического  и геометрического z. Учитывая низкий удельный вес воздуха, величиной z обычно пренебрегают, и уравнение (2.5.4) приобретает вид

v²/(2g)+=H.                                                       (2.5.5)

Для идеального газа запас энергии в каждом сечении потока будет оставаться неизменным, а у реальных газов (имеющих трение) запас энергии от сечения к сечению по направлению движения будет убывать. Записав уравнение (2.5.5) для двух произвольных сечений потока и вычтя одно уравнение из другого, получаем уравнение для реального газа

++DH=0,                                             (2.5.6)

где DH=Н₁–Н₂ – гидравлические потери. Обычно величину гидравлических потерь DH принимают пропорциональной изменению кинетической энергии

DH=xv²/(2g).

Величина x называется коэффициентом гидравлических потерь и равна их сумме на всём участке, а v - средняя скорость в сечении струи.

В случае если воздух истекает из резервуара достаточно большого размера через отверстие малой длины, то скорость воздуха перед отверстием можно принять равной нулю, и тогда на основе уравнения (2.5.6) можно получить

v=.                                                 (2.5.7)

Величину  называют коэффициентом скорости и обозначают j, следовательно,

v=.

В пневматических приборах линейных измерений применяются дроссели малой длины. Скорость течения воздуха в таких дросселях велика, поэтому можно считать, что удельный вес воздуха остаётся постоянным. Расход воздуха через такой дроссель выражается формулой

G=Fvw,                                                         (2.5.8)

где F - площадь проходного сечения дросселя и w - удельный вес воздуха в сечении. В уравнении (2.5.8) удельный вес воздуха в сечении F принят равным удельному весу в среде, куда происходит истечение. На самом же деле в расчётном сечении удельный вес воздуха иной. Выравнивание удельного веса воздуха в струе с удельным весом воздуха окружающей среды происходит в сечении, расположенном на некотором расстоянии от дросселя. При этом площадь этого сечения меньше проходного сечения дросселя. Отношение площадей сжатого сечения к расчётному называется коэффициентом сжатия струи. Произведение коэффициента сжатия на коэффициент скорости называется коэффициентом расхода и обозначается m. Таким образом, для уточнения в формуле расхода вместо j следует использовать m.

Изохорический процесс течения воздуха

Изохорический процесс характеризуется постоянством величины удельного веса w. Учитывая это, из формул (2.5.8) и (2.5.7) легко получить формулу расхода для изохорического процесса. Так, формула расхода может быть записана в виде

G=Fvw==

=.                                    (2.5.9)

Принимая для идеального газа , получаем в итоге формулу расхода газа для изохорического процесса течения в виде

=.                            (2.5.10)

Эта формула получена формальной подстановкой значения удельного веса воздуха после дросселя в формулу расхода воздуха, полученную для изохорического процесса.

Для определения области применения формулы (2.5.10) положим dQ/db=0, где b=p₂/p₁. Тогда критическое отношение давлений b_кр=0,5 и при этом расход будет максимальным. Зависимость расхода по формуле (2.5.10) от b представляет собой параболу с вершиной в точке b=0,5. Ввиду того, что левая ветвь параболы не отвечает физической сущности явления (в действительности расход остаётся постоянным), расход при p₂/p₁≤0,5 следует считать по формуле для надкритического режима истечения, получаемой подстановкой в (2.5.10) p₂/p₁=0,5

.                                      (2.5.11)

Адиабатический процесс течения воздуха

В дросселях пневматических приборов малой длины скорость течения воздуха велика, поэтому можно с достаточной уверенностью считать, что теплообмен между протекающим воздухом и стенками дросселя отсутствует. Следовательно, течение происходит по адиабатическому закону. При адиабатическом процессе течения воздуха соблюдается следующее условие [Дмитриев, Чернышёв (1962) стр. 10]

р/w^k=const,

где k носит название показателя адиабаты. Тогда для короткого дросселя можно написать уравнение адиабатического процесса

р/w^k=р₁/w₁^k

и отсюда

w=w₁(р/р₁)^1/k

Заменяя w в (2.5.7) этим его выражением и интегрируя, получаем

v=.                                               (2.5.12)

Расход воздуха через некоторый дроссель определяется по формуле

G=Fvw₂,                                                        (2.5.13)

где F - площадь проходного сечения дросселя и w₂ - удельный вес воздуха в сечении.

Из уравнения для адиабатического процесса следует

w₂=w₁(р₂/р₁)^1/k.

Подставляя в уравнение (2.5.13) w₂ и выражение для v из (2.5.12), получаем

G=.                (2.5.14)

Как и в случае изохорического процесса, здесь также для уточнения вместо j следует ввести коэффициент расхода m.

На практике приходится рассчитывать расход воздуха для различных видов дросселей, имеющих довольно сложную конфигурацию. Поэтому коэффициент расхода m определяют экспериментально. В этом случае он уже не будет представлять собой указанного произведения коэффициента сжатия на коэффициент скорости, а будет являться поправочным коэффициентом, учитывающим специфику геометрии дросселя.

Обозначив отношение давлений b=p₂/p₁, найдём то значение b, при котором расход имеет максимальное значение. Продифференцировав выражение (2.5.14) по b и приравняв производную dG/db нулю, получим

b_кр=.

Для воздуха показатель адиабаты k =1,4, поэтому критическое отношение b_кр=0,528. Условие равенства b=b_кр соответствует установлению на срезе отверстия такой скорости воздуха, которая равна скорости звука. Опыты показывают, что если и дальше понижать давление р₂, то расход не увеличивается, а остаётся постоянным. Поэтому в случае докритического истечения (p₂/p₁≥0,528) пользуются формулой (2.5.14), где j заменяется на m, а в случае надкритического истечения (p₂/p₁≤0,528) используют формулу

G=.                                (2.5.15)

Физику явления, что расход воздуха не зависит от изменения давления p₂ при надкритическом истечении, можно объяснить так. Пусть давление p₂ за отверстием понижается за счёт стравливания в атмосферу. Как всякая волна разряжения, понижение давления распространяется со скоростью звука. При надкритическом истечении установившаяся на срезе сопла звуковая скорость не позволит возмущению извне проникнуть внутрь сосуда, из которого происходит истечение, и повлиять на режим самого истечения.

Хорошее соответствие с экспериментом позволяет использовать формулы (2.5.14) и (2.5.15) для расчёта турбулентных течений, при которых происходит неупорядоченное, хаотическое движение частиц воздуха и их перемешивание. Однако эти формулы сложнее тех, что получены для изохорического процесса.

Вывод упрощённой функции изучаемой зависимости

При бесконтактном измерении датчиком прибора является выходное сопло с заслонкой, в качестве которой служит поверхность контролируемой детали. Расход воздуха через датчик будет определяться площадью А кольцевого зазора, образованного торцом выходного сопла с диаметром d₂ внутреннего отверстия и поверхностью контролируемой детали

А=pd₂S.                                                         (2.5.16)

Практически, измерение возможно только при pd₂S≤pd₂²/4, то есть S≤d₂/4. В противном случае изменение площади истечения не будет зависеть от изменения S.

В пневматических приборах для линейных измерений используется зависимость расхода G сжатого воздуха от площади А проходного сечения дросселя сопло-заслонка. Площадь А изменяется за счёт изменения величины зазора S. Таким образом функцией расхода является G=f(P_и, А), где P_и –давление воздуха между входным дросселем и дросселем сопло-заслонка и А - проходное сечение дросселя сопло-заслонка. Измеряя расход G при постоянном рабочем давлении Р_s можно судить об изменении контролируемого размера детали.

Для определения расхода воздуха через прибор путём измерения давления P_и устанавливают дополнительный постоянный дроссель с площадью проходного сечения В, который называют входным дросселем. Сжатый воздух под постоянным рабочим давлением Р_s через входной дроссель истекает в рабочую камеру и далее в атмосферу через кольцевой зазор, образованный торцом выходного сопла и поверхностью детали. В зависимости от величины зазора S в рабочей камере устанавливается определённое давление P_и, которое, при постоянных рабочем давлении Р_s и площади В проходного сечения входного дросселя, является мерой расхода воздуха через прибор и, поэтому, мерой контролируемой линейной величины S. Для измерения давления P_и используют манометр, шкала которого проградуирована в линейных величинах.

Строгое определение зависимости P_и=f(S) представляет большую сложность, поэтому для целей практического анализа пневматических приборов эта зависимость определяется приближённо [Волосов, Педь (1970) стр.143].

Так, если принять, что поток воздуха через входной дроссель течёт по изохорическому закону, то на основе формулы (2.5.9) можно записать

Вv₁w=,                                        (2.5.17)

откуда получаем скорость потока воздуха через входной дроссель

v₁=

=,                                         (2.5.18)

где r - плотность воздуха.

Аналогично для дросселя сопло-заслонка на основе выражения (2.5.9) имеем

Аv₂w=,                                       (2.5.19)

где P_а – атмосферное давление, и из этого выражения получаем скорость потока воздуха через дроссель сопло-заслонка

v₂=

=.                                         (2.5.20)

Используя уравнение неразрывности потока воздуха через пневматический прибор в виде равенства расходов через входной дроссель и дроссель сопло-заслонка, получаем

Вv₁r₁=Av₂r₂,

где r₁ и r₂ - плотности воздуха, соответственно во входном дросселе и дросселе сопло-заслонка. Приняв также допущение о не сжимаемости воздуха r₁=r₂=r, получаем

Вr=Ar.

Далее возведя в квадрат обе части последнего уравнения и сделав сокращения, имеем

B²m₁²(P_s–P_u)=A²m₂²(P_u–P_a)

откуда

B²m₁²P_s–B²m₁²P_u=A²m₂²P_u–A²m₂²P_a

B²m₁²P_s+A²m₂²P_a=B²m₁²P_u+A²m₂²P_u

и

P_u=(B²m₁²P_s+A²m₂²P_a)/(B²m₁²+A²m₂²)

В силу (2.5.16), получаем выражение для давления P_u в явном виде

P_u=[(m₁B)²P_s+(m₂pd₂S)²P_a]/[(m₁B)²+(m₂pd₂S)²]

И, если принять что m₁=m₂, то последнее выражение может быть упрощено к виду

P_u=[B²P_s+(pd₂S)²P_a]/[B²+(pd₂S)²].

Если расчёт вести в избыточных давлениях то, вычитая P_a из обоих частей уравнения, получаем

P_u–P_a=[B²P_s+(pd₂S)²P_a–B²P_a–(pd₂S)²P_a]/[B²+(pd₂S)²]

откуда

DP_u=DP_s/[1+(pd₂S/B)²],

где DP_u=P_u–P_a – избыточное измеряемое давление и DP_s=P_s–P_a – избыточное рабочее давление. Такая формула приводится в литературе по пневматическим приборам для линейных измерений. Однако эта формула и формула для абсолютных давлений не учитывает тех ограничений, которые накладываются величиной отношения давлений до и после дросселя при изохорическом процессе течения воздуха. Поэтому если принять во внимание это ограничение, то теоретическая функция получится иной.

Функция изучаемой зависимости по изохорическому закону

При течении воздуха по изохорическому закону, если критическое отношение давлений на входе и выходе входного дросселя прибора P_и/P_s=0,5, то по формуле (2.5.10) для докритического режима истечения (P_и/P_s>0,5) расход вычисляется по формуле

,

а для надкритического режима истечения (P_и/P_s≤0,5) расход находится из выражения

.

В результате получается алгоритмическая функция расхода. В обозначениях компьютерной программы Mathcad эта функция может быть записана в виде

.

Аналогично для дросселя сопло-заслонка при докритическом режиме истечения (P_u/P_a>0,5) расход вычисляется по формуле

,

а при надкритическом режиме истечения (P_u/P_a≤0,5) расход находится из выражения

.

Алгоритмическая функция расхода сжатого воздуха через дроссель сопло-заслонка в обозначениях Mathcad получается в виде

.

Для одномерного установившегося режима течения воздуха весовые расходы через входной дроссель и дроссель сопло-заслонка должны быть равны для того, чтобы общий вес воздуха в рабочей камере был постоянным. Поэтому, в силу (2.5.16), равенство расходов записывается в виде

=.

Эта неявная алгоритмическая функция выражает зависимость P_u от S при изохорическом процессе течения сжатого воздуха. Она кроме атмосферного давления Р_а не содержит других физических параметров, а включает только параметры самого прибора, такие как площадь проходного сечения В входного дросселя, рабочее давление Р_s, внутренний диаметр d₂ отверстия дросселя сопло-заслонка и иррациональное число p. Эта функция не может быть представлена в явном виде и сложнее полученной ранее упрощённой функции.

Функция изучаемой зависимости по адиабатическому закону

При течении воздуха по адиабатическому закону, если критическое отношение давлений на входе и выходе входного дросселя прибора P_и/P_s=0,528, то по формуле (2.5.14) для докритического режима истечения (P_и/P_s>0,528) расход вычисляется по формуле

G₁=,

а для надкритического режима истечения (P_и/P_s≤0,528) расход находится по формуле (2.5.15)

G₁=.

В результате, как и по изохорическому закону, также получается алгоритмическая функция расхода. В обозначениях программы Mathcad эта функция записывается в виде

.

Аналогично для дросселя сопло-заслонка при докритическом режиме истечения (P_u/P_a>0,528) расход вычисляется по формуле

G₂=,

а для надкритического режима истечения (P_u/P_a≤0,5) расход находится из выражения

G₂=.

Алгоритмическая функция расхода сжатого воздуха через дроссель сопло-заслонка в обозначениях Mathcad получается в виде

Ещё посмотрите лекцию "20 Управление городскими процессами" по этой теме.

.

Для одномерного установившегося режима течения воздуха весовые расходы через входной дроссель и дроссель сопло-заслонка должны быть равны для того, чтобы общий вес воздуха в рабочей камере сохранялся постоянным. Поэтому при А=pd₂S равенство расходов записывается в виде

=.

Эта неявная алгоритмическая функция выражает зависимость P_u от S при адиабатическом процессе течения сжатого воздуха. В ней кроме всех перечисленных параметров самого прибора, иррационального числа p и атмосферного давления Р_а содержится другой физический параметр k - показатель адиабаты. Эта функция также не может быть представлена в явном виде и добавление ещё только одного физического параметра сделало её сложнее функции, полученной по изохорическому закону.

Таким образом, из этого примера видно, что для одной и той же зависимости теоретически могут быть разработаны функции различной сложности. Использование только одного дополнительного физического параметра значительно усложняет функцию рассматриваемой зависимости. В связи с этим возникает вопрос, какой сложности должна быть функция исследуемой зависимости, чтобы использоваться в моделировании? На этот вопрос можно найти ответ, как и для полиномиальных функций, путём использования теоретических функций в статистическом моделировании и применения процедур статистического вывода.