Ряд Тейлора
Ряд Тейлора.
Рядом Тейлора называется степенной ряд вида 
(предполагается, что функция 
является бесконечно дифференцируемой).
Рядом Маклорена называется ряд Тейлора при 
, то есть ряд 
.
Теорема. Степенной ряд является рядом Тейлора для своей суммы.
Доказательство. Пусть 
и степенной ряд сходится в круге 
. Подставим в разложение 
, получим
.
Так как сумма степенного ряда – функция аналитическая, мы можем дифференцировать функцию, а так как степенной ряд сходится равномерно внутри круга сходимости, мы можем его дифференцировать почленно. Полученный ряд будет сходиться в том же круге, так как радиус сходимости при дифференцировании не меняется. Поэтому сумма этого ряда 
будет фунцией аналитической в том же круге. Ее вновь можно дифференцировать, дифференцируя почленно степенной ряд и т.д. Отсюда следует, что если аналитическая функция является суммой степенного ряда (это будет показано позже), то она является бесконечно дифференцируемой функцией. Вычислим коэффициенты в степенных рядах, полученных почленным дифференцированием. 
=
, 
, 
, 
,
, 
, 
,
Продолжая этот процесс, получим 
. Это – коэффициенты ряда Тейлора.
Рекомендуемые материалы
Запишем разложения в ряд Маклорена основных элементарных функций.
Лекция "3.25 Пейзаж в живописи передвижников" также может быть Вам полезна.
Так как эти формулы справедливы на всей действительной оси, то по теореме Абеля они справедливы и на всей комплексной плоскости (в круге с началом координат бесконечного радиуса).
, 
.
,.
( интегрируя предыдущую формулу)
, 
