Доказать второе достаточное условие экстремума

Доказать второе достаточное условие экстремума.

Пусть функция  определена и имеет в окрестности точки с производную до n-го порядка включительно, причем в самой точке с все производные до (n-1)-го порядка включительно равны 0, а n-ая производная в точке С отлична от нуля. Если n – четное, тогда С – точка локального экстремума, в частности, если , то x=c – локальный минимум, если , то x=c – локальный максимум.

Доказательство: Запишем формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано с центром в точке С.

, где - б.м.ф. при . Пусть n – четное, тогда  не меняет знак при переходе через С.   в которой функция сохраняет знак своего предела. , . . , если - точка локального экстремума.