Уравнение в полных дифференциалах
Уравнение в полных дифференциалах
Уравнение вида
(1.24)
называется уравнением в полных дифференциалах, если коэффициенты M(x,y) и N(x,y) представляют собой непрерывные и дифференцируемые функции, удовлетворяющие условию
(1.25)
Условие (1.25) есть необходимое и достаточное условие того, что левая часть уравнения (1.24) представляет собой полный дифференциал некоторой функции двух независимых переменных du(x,y). Поэтому уравнение (.24) может быть представлено в компактной форме
Рекомендуемые материалы
Следовательно, его общий интеграл, а значит, и общий интеграл уравнения (1.24) имеет вид
Как известно, полный дифференциал функции двух переменных равен
(1.26)
Сравнивая выражение (1.26) и левую часть уравнения (1.24),можно заключить, что
(1.27)
Интегрируя, например, первое из выражений (1.27), получим
(1.28)
где - произвольная функция интегрирования (в частности, она может быть константой). Заметим, что при вычислении интеграла в (1.28) функция y рассматривается как постоянная. Функция определяется из решения дифференциального уравнения, получающегося из соотношения (1.28) и второго условия (1.27).
Пример. Решить уравнение
(1.29)
Здесь и
Поэтому уравнение (1.29) является уравнением в полных дифференциалах. Следовательно,
Дифференцируя последнее равенство по y и приравнивая значению N,получим
В лекции "Введение" также много полезной информации.
Интегрируя полученное дифференциальное уравнение, находим Таким образом, общий интеграл исходного уравнения равен
или при