Аналогии компонентных уравнений.

Аналогии компонентных уравнений.

В большинстве технических систем можно выделить три типа простейших элементов:

A. Элемент типа R - элемент диссипации энергии. На этом элементе, как правило, происходит преобразование энергии в тепловую.

Б. Элемент типа С.

B. Элемент типа L.

На элементах типа С и L происходит накопление потенциальной или кинетической энергии.

Сочетанием этих простейших элементов, а также источников фазовых переменных может быть получена ММ технического объекта практически любой сложности.

Рассмотрим основные физические подсистемы с точки зрения аналогий компонентных уравнений.

Для каждой физической подсистемы характерны свои законы, однако для простейших элементов форма выражающих их уравнений оказывается одинаковой.

Рекомендуемые материалы

Электрическая подсистема.

Фазовыми переменными электрической подсистемы являются токи I и напряжения U. Запишем уравнения трех типов простейших элементов:

A. Уравнение сопротивления (закон Ома) , где R - электрическое сопротивление.

Б. Уравнение емкости , где С - электрическая емкость.

B. Уравнение индуктивности , где L - электрическая индуктивность.

Механическая поступательная подсистема.

Фазовые переменные механической поступательной подсистемы - силы F и скорости V - соответственно аналоги токов и напряжений. Запишем уравнения трех типов простейших элементов:

А. Уравнение вязкого трения , где  - аналог электрического сопротивления; k – коэффициент вязкого трения.

Б. Уравнение массы (уравнение второго закона Ньютона) , где  - ускорение,  - аналог электрической емкости (масса элемента).

В. Уравнение пружины , где х - перемещение, k - жесткость пружины.

Продифференцируем обе части уравнения по времени: , или , где  - аналог электрической индуктивности.

Аналогичное компонентное уравнение можно получить из закона Гука для элемента, у которого учитывается сжимаемость, т. е. , где Р - напряжение в элементе; Е - модуль Юнга; l - длина элемента;  изменение длины элемента. Умножив обе части этого уравнения на площадь S поперечного сечения элемента и продифференцировав по времени, получим:

;

,                 ,               

или ;           .

Механическая вращательная подсистема.

Фазовые переменные этой подсистемы - моменты сил М и угловые скорости  - соответственно аналоги токов и напряжений. Запишем уравнения трех типов простейших элементов:

А. Уравнение вязкого трения вращения ,  - аналог электрического сопротивления; k - коэффициент трения вращения.

Б. Основное уравнение динамики вращательного движения , где  - аналог электрической емкости (момент инерции элемента).

С. Уравнение кручения бруса с круглым поперечным сечением , где М - крутящий момент; G - момент сдвига; J_p - полярный момент инерции сечения;  - относительный угол закручивания.

Рассмотрим брус конечной длины, тогда , где  - угол закручивания; l - длина бруса. Продифференцируем обе части уравнения по времени, т. е.

,

или, если учесть, что  и ,

то , где L_BP - аналог электрической индуктивности (вращательная гибкость).

Аналогичное компонентное уравнение можно получить для спиральной пружины, уравнение которой , где с - жесткость пружины. Продифференцировав обе части уравнения по времени, получим ; .

Гидравлическая (пневматическая) подсистема.

Фазовые переменные гидравлической подсистемы – массовые расходы Q_m и давления Р - соответственно аналоги токов и напряжений. Запишем уравнения трех типов простейших элементов:

А. Уравнение для участка трубопровода при стационарном ламинарном течении жидкости , где  - аналог электрического сопротивления ( - кинематическая вязкость, d и l - диаметр и длина трубопровода).

Б. Уравнение сжимаемости жидкости в некотором объеме V при воздействии давления . Так как  (рис. 1), то, умножив обе части уравнения на  и продифференцировав по времени, получим , или , где  - аналог электрической емкости;  - плотность жидкости; S - площадь поперечного сечения сосуда,  - скорость движения жидкости через сечение.

Рис. 1. Иллюстрация к определению гидравлической емкости

В. Уравнение Эйлера (закон движения идеальной жидкости) .

Если рассмотреть участок трубопровода длиной l с давлениями на концах P₁ и Р₂, то при замене производной  первой разностью найдем . Для получения в левой части уравнения массового расхода умножим обе его части на , т. е. ,

или , где  - аналог электрической индуктивности.

Закон движения реальной жидкости описывается уравнением Навье-Стокса, которое для одномерного случая выглядит так:

,

где G_M - массовые силы;  - вторая вязкость.

Выделяя участок трубопровода и считая , получим, что участок может быть представлен гидравлическими сопротивлением и индуктивностью (массовыми силами пренебрегаем), т. е. .

Лекция "7.2 Общественная и политическая системы Византии" также может быть Вам полезна.

Тепловая подсистема.

Фазовые переменные этой подсистемы - тепловые потоки Ф и температура Т - соответственно аналоги токов и напряжений. Запишем уравнения трех типов простейших элементов:

А. Из соответствующих уравнений законов Фурье и Ньютона для теплопроводности и конвекции , где  - плотность теплового потока;  - коэффициент теплопроводности; Т₁ и Т₂ - температура на границах рассматриваемого участка длиной l для индуктивного теплообмена и , где  - коэффициент теплообмена через конвекцию; Т₁ - температура тела; Т₂ - температура окружающей среды для конвективного теплообмена.

Для получения теплового потока умножим обе части уравнений на площадь S поперечного сечения выделенного участка, т. е.  или ;  или , где  - кондукционное сопротивление;  - конвекционное сопротивление.

Б. Уравнение теплоемкости тела , где  - изменение количества теплоты в теле при изменении температуры на dT. Так как изменение количества теплоты в единицу времени есть тепловой поток, то , где  - аналог электрической емкости; с - удельная теплоемкость; m - масса тела.

В. Когда фазовыми переменными являются тепловой поток и температура, компонентное уравнение, соответствующее тепловой индуктивности, не имеет физического смысла.