Дифференцирование функций одной переменной

Глава 4.  Дифференцирование функций одной переменной.

§1. Определение производной.

Df(x₀, Dx) = f(x₀ + Dx) – f(x₀) – приращение y = f(x) , соответствующее приращению Dx.

Производная 1-го порядка функции  y = f(x)  в точке x₀ – это число 

 - левая и правая производные.

$f^/(x₀) Û $ f^/_-(x₀), f^/₊(x₀)  и  f^/_-(x₀) = f^/₊(x₀)                                   $f^/(x₀) Þ  f(x)  непрерывна в точке  x₀

Таблица производных основных элементарных функций.

1. (x^a)^/ = ax^a-1, a ¹ 0.     2. (a^x)^/ = a^x lna, a > 0,a ¹ 1; (e^x)^/ = e^x.  3. (log_ax)^/ = log_aе /x, a > 0,a ¹ 1; (ln x)^/ = 1/x.

Рекомендуемые материалы

4. (sin x)^/ = cos x.                5. (cos x)^/ = - sin x.                6. (tg x)^/ = 1/cos²x.               7. (ctg x)^/ = - 1/sin²x.

8. (arcsin x)^/ = - (arccos x)^/ = .   9. (arctg x)^/ = - (arcctg x)^/ = .

§2. Правила дифференцирования.

1. (С)^/ = 0.                      2. (f(x) + g(x))^/ = f^/(x) + g^/(x).                                       3. (Cf(x))^/ = Cf^/(x).                       4. (f(x)g(x))^/ = f^/(x)g(x) + f(x)g^/(x).                                             5. .

6. Пусть f(x) имеет производную в т. x₀, а  z = g(y) – в т. y₀ = f(x₀) Þ

z = g(f(x)) в т. x₀ имеет производную z^/(x₀) = g^/(y₀) f^/(x₀) – правило дифференцирования сложной функции.

7. Логарифмическая производная. .

§3. Дифференцирование функций, заданных неявно или параметрически.

Функция y = f(x), xÎ(a,b) неявно задана уравнением   F(x,y) = 0, если

                                                            "xÎ(a,b)  F(x,f(x)) = 0  (1)

  - производная обратной функции.

Пусть заданы  x = j(t), y = y(t), tÎ(a,b)  (2).

Если $t = j^-1(x),то определена  y(x) = y(j^-1(x)), заданная параметрическими соотношениями (2) Þ

§4. Геометрический, механический, экономический смысл производной.

Уравнение касательной в точке М(х₀,у₀)      y – y₀ = f^/(x₀)(x – x₀),          нормали    x – x₀ + f^/(x₀)( y – y₀) = 0

Скорость изменения экономических величин

х – затраты ресурса,  f(x) - выпуск продукции  Þ   f^/(x) - предельный продукт

х – объем продукции,  f(x) - издержки производства  Þ   f^/(x) - предельные издержки

§5. Дифференциал.

дифференцируемой в точке х₀                    Dу(х₀,Dх) = АDх + о(Dх)     (1)

Дифференциал  ADx = dy(х₀,Dх) = dy(х₀,dх)            y = f(x) дифференцируема в т.x₀ Û$f^/( х₀)       A = f^/( х₀)  

Dy » dy при |Dx|<<1                  y(х₀+Dх) » y(х₀) + f^/( х₀)Dх

§6. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши.

Теорема 1 (Ферма). f(x) задана на <a,b>, дифференцируема в точке c и f(c) – экстремум Þ f^/(c) = 0

Доказательство (идея)   f^/₊(c) = lim( - / + ) £ 0,  f^/_-(c) = lim( + / + ) ³ 0

Теорема 2 (Ролль). fÎC[a,b],  fÎC¹(a,b),  f(a) = f(b) Þ $cÎ(a,b):  f^/(c) = 0

Доказательство (идея) 1.$M = f(x)_наиб  m = f(x)_наим     2. M = m Þ f^/(x) º 0.    3. M¹m Þ одно из этих двух чисел достигается внутри  [a,b], в точке cÎ(a,b).        4. По теореме 1 в этой точке  f^/(c) = 0

Теорема 3 (Лагранж). fÎC[a,b],  fÎC¹(a,b) Þ $cÎ(a,b):   f(b) – f(a) =  f^/(c) (b – a)

Доказательство (идея) 1.Находят вспомогательную функцию j(x) = f(x) +kx:  j(a) = j(b)   2. По теореме 2 $cÎ(a,b):  j^/(c) = 0

Теорема 4 (Коши). f,gÎC[a,b],  f,gÎC¹(a,b), g^/(x) ¹ 0 Þ $cÎ(a,b):  

§7. Раскрытие неопределенностей. Правила Лопиталя.

1. Раскрытие неопределенностей типа

Если f(x) и g(x) обе б.м. или б.б.

Теорема 5 (Лопиталь)   f,gÎC¹(U), g^/(x) ¹ 0  в U.  

2. Раскрытие неопределенностей типа  0^.¥  и  ¥ - ¥ (Эйлер)

0^.¥  - см. «Вычисление пределов. Полезные советы»

¥ - ¥.  Если f(x) и g(x) обе б.б., то

Если k ¹ 1 , то исходный предел = ¥, если k = 1, то получается ¥^.0.

3. Раскрытие неопределенностей типа  0⁰, ¥⁰, 1^¥ (Коши).

Вместе с этой лекцией читают "Часть 13".

Если  y = f(x)^g(x) , то ln y = g(x)^.ln f(x)   (0^.¥ или ¥^.0).

§8. Формула Тейлора.

                              Аналогично,

Теорема 6 (Тейлора)  $f⁽ⁿ⁺¹⁾(x)   U_d(a) = {x½ úx-aê<d}      "xÎ U_d(a)

a = 0     ,   0 < q < 1 – формула Маклорена.