Функции. Пределы. Непрерывность
Глава 3. Функции. Пределы. Непрерывность.
§1. Множества. Логическая символика.
аÎА аÏА Æ АÌВ "аÎА Þ аÎВ А = В, если АÌВ и ВÌА
1) А = {а1,а2,…ак} - перечисление элементов 2) А = {хÎТ½a(х)} - с помощью свойства (формулы)
АÈВ = {хïхÎА или хÎВ} АÇВ = {хïхÎА и хÎВ} А В = {хïхÎА, хÏВ}
a,b - утверждения. 
- отрицание. aÞb - импликация. aÛb - эквивалентность.
aÙb - конъюнкция. aÚb - дизъюнкция. "хÎХ a(х) " - квантор всеобщности
$хÎХ a(х) $ - квантор существования $!хÎХ a(х)
Рекомендуемые материалы
§2. Функции вещественной переменной.
D Ì R x Î D f ( x ) E = {yÎRïy = f ( x ), x Î D} f : D ® E y = f ( x )
f : D ® E "x1,x2ÎD x1 ¹ x2 Þ f ( x1 ) ¹ f ( x2 ) "yÎE $!xÎD : f ( x ) = y
f-1 : E ® D x = f-1 ( y ) обратная функция
f : X ® Y, g : Y ® Z. Композиция ( сложная функция) h = g ° f : X ® Z h ( x ) = g ( f ( x ))
Элементарные функции. 1. y = xa, aÎ R. 2. y = ax, a > 0, a ¹ 1. 3. y = logax, a > 0, a ¹ 1.
4. y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x. 5. y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x.
G = { ( x, y ) Î R2 ï x Î D, y = f ( x ) }
§3. Предел последовательности вещественных чисел.
Последовательность f : N ® R f ( n ) = xn– n-й член последовательности { xn } nÎN
Число а называется пределом последовательности { xn }nÎN ( 
= a ), если
"e>0 $N(e): "n> N(e) ïxn - a ï< e Сходящаяся последовательность
Геом. смысл. Вне интервала ( а - e , а + e ) может находиться лишь конечное число xn
Свойства. Если 
= a, 
= b, то 1. 
= a ± b 2. 
= a.b
Последовательность: 
Число а называется пределом последовательности 
, то есть 
, если
: 
.
Сходящаяся последовательность.
Геометрический смысл:
Вне интервала 
может находиться лишь конечное число членов последовательности.
Свойства:
Если 
, то
- бесконечно малая, если 
.
- бесконечно большая, если 
Число 
- основание натурального логарифма.
Теорема 1 ( о сжатой последовательности).
Если 
и 
, то 
.
называется ограниченной, если 
Теорема 2.
Если - ограничена и не убывает (т.е. 
), то 
.
Следствие:
Если - ограничена и не возрастает (т.е. 
), то .
Теорема 3.
Если 
, то - ограничена.
§4. Предел функции.
Пусть функция 
определена на множестве D. Число а называется пределом функции в точке x0 (
), если
такое, что 
.
«Замечательные» пределы:
1. 
Свойства:
Если 
, то
§5. Непрерывные функции. Теоремы Коши и Вейерштрасса.
Односторонний предел справа (правосторонний предел) 
такое, что 
.
Односторонний предел слева (левосторонний предел) 
такое, что 
.
y=f(x) D непрерывной в точке x0
а) х0 Î D б) $
в) 
Разрывы
1) $ , но х0 Ï D или 
- устранимый разрыв.
2) 
, но а+ ¹ а- или 
- разрыв 1-го рода.
3) разрыв 2-го рода.
f Î C( a,b ) f( x ) непрерывна на интервале, если она непрерывна во всех его точках.
f Î C[ a,b ] f( x ) непрерывна на отрезке, если она непрерывна на интервале ( a,b ) и
Теорема 1. Если f(x) и g(x) непрерывны в точке х0, то функции f(x) ± g(x), f(x) . g(x), f(x) / g(x) ( при g(x0)¹0 ) также непрерывны в точке х0.
Теорема 2. Если f Î C[ a,b], f(a ) .f(b) < 0 , то $ cÎ (a,b): f(c) = 0.
Теорема 3. Если f Î C< a,b>, принимает значения A,B ( A < B ) на промежутке < a,b>, то "CÎ[A,B] $ cÎ(a,b): f(c) = C.
Теорема 4. Если f Î C[ a,b], то она ограничена на [ a,b] .
Теорема 5. Если f Î C[ a,b], то существуют точки, в которых достигаются наибольшее и наименьшее значения на отрезке.
§6. Вычисление пределов. Практические советы.
1. Если f(x) - бесконечно малая (б.м.) при x®x0 , то 1/f(x) - бесконечно большая (б.б.) при x®x0.
2. Если f(x) - б.б. при x®x0 , то 1/f(x) - б.м. при x®x0.
3. Если f(x) - б.м. при x®x0, g(x) - б.б. при x®x0, то 
4. Если f(x) - б.м. при x®x0, 
, то
f(x)/g(x) - б.м. при x®x0, g(x)/f(x) - б.б. при x®x0.
5. Пусть f(x) и g(x) - б.м. при x®x0, рассмотрим 
Если р = 0, то f(x) величина большего порядка малости, чем g(x) при x®x0 f(x)=o(g(x))
Если р = ¥, то f(x) величина меньшего порядка малости, чем g(x) при x®x0 g(x)=o(f(x))
Обратите внимание на лекцию "Название нашей страный и название русского народа".
Если р = С, то f(x) и g(x) величины одного порядка малости при x®x0
g(x)=О(f(x)) или f(x) » Cg(x). Таблица эквивалентностей.
Если x0 ¹ 0, то можно сделать замену переменной у = x-x0® 0, откуда х = у + х0
При x®¥ предел отношения степенных функций зависит от старших степеней, при x® 0 - от младших.
