Популярные услуги

Любая задача по линалу
Любая задача по математическому анализу и по интегралам и дифференциальным уравнениям
КМ-3 Важнейшие аспекты теории графов - любой вариант за 3 суток!
Решу любую задачу
НОМОТЕХ
Предельные теоремы и математическая статистика
Любая задача по Линейной алгебре и аналитической геометрии
Контрольная работа по рядам (КМ-3) ИДДО 2022
Повышение уникальности твоей работе
Сдам любой тест по дискретке в течение суток на положительную оценку!
Главная » Лекции » Математика » Математика для юристов » Натуральные, целые и рациональные числа

Натуральные, целые и рациональные числа

2021-03-09СтудИзба

§1. Натуральные, целые и рациональные числа

Известные нам числа 1, 2, 3... называются натуральными. Их используют для счета или обозначения количества предметов, например: один юрист, два юриста и т. д. Кроме того, с помощью натуральных чисел обозначают порядок предметов. Например, если всех милиционеров в отделении выстроить по росту, то каждому из них можно присвоить номер: первый милиционер, второй милиционер и т. д. Поэтому различают количественные числа — один, два, три, четыре..., и порядковые числа — первый, второй, третий...

Чтобы записывать натуральные числа, большие десяти, мы пользуемся так называемой десятичной позиционной системой. Слово «позиционная» означает, что значение цифры зависит от ее места, например:

147= 1 • 100 + 4 • 10 + 7 1,

714 = 7-100 + 1 -10 + 4-1,

471 = 4 • 100 + 7 • 10 + 1 • 1.

Слово «десятичная» означает, что используются степени десятки. В другой системе, например, пятиричной, содержащей всего пять цифр 0, 1, 2, 3, 4, числовая позиционная запись расшифровывается так:

143 = 1 • 52 + 4 - 6 + 3 • 1;

в двоичной системе, содержащей всего две цифры 0 и 1, мы получим:

Рекомендуемые материалы

1 011 001 = 1 • 26 + 0 • 25 + 1 - 24 + 1 • 23 + + 0-22+ 0-2 + 1-1.

Натуральные числа можно, как известно, складывать, вычитать, умножать и делить. Однако эти операции неравноценны. Очевидно, что сумма а + b любых двух натуральных чисел а и b снова будет натуральным числом; то же самое можно сказать и о произведении аb. При этом порядок слагаемых и сомножителей не играет роли, т.е. a + b = b + a иab = bа.

Что же касается операций вычитания и деления, то здесь ситуация иная. Например, разность 5-2 = 3 — число натуральное, но натурального числа 2 - 5 не существует. В последнем случае используют так называемые отрицательные числа и записывают 2-5 =-3, 4-10 =-6 и т.п. Числа а и называются противоположными.

Между натуральными числами и целыми отрицательными числами находится число 0 (нуль). Его рассматривают как количественное число; нуль предметов данного вида (например, попугаев в Антарктиде) означает отсутствие предметов данного вида. Пользуясь математической терминологией, можно сказать, что множество попугаев, проживающих в Антарктиде, есть пустое множество. Нуль обладает следующими свойствами:

1) а + 0 = а;

2) а + (-а) = 0;

3) на нуль делить нельзя.

Натуральные числа, целые отрицательные числа и число нуль называются в совокупности целыми числами. Множество всех натуральных чисел обозначается символом N, множество всех целых чисел — символом Z. Наглядно целые числа представляют точками на прямой (шкала термометра):

В отличие от множества натуральных чисел, множество целых чисел устроено более «демократично»: любые два целых числа можно вычитать друг из друга и результат вычитания всегда будет также целым числом. Математики говорят, что множество целых чисел замкнуто относительно операций сложения и вычитания, и что это множество получено расширением множества натуральных чисел.

Потребность расширить множество натуральных чисел возникает и при делении. Например, семь милиционеров нельзя разделить на четыре равные части — такого количества милиционеров 7/4 не существует. Но мы вполне можем разделить семь миллионов рублей на четыре равные части. Это число (1 миллион 750 тысяч) составляет 7/4 от общей суммы. Аналогичный смысл имеет обозначение , где а и Ъ — любые натуральные или даже целые числа (b¹0). Числа вида  называются обыкновенными дробями или рациональными числами. Множество всех рациональных чисел обозначается символом Q.

Целое число а можно записать как дробь а/1, поэтому целые числа входят как часть во множество рациональных чисел. В этом случае говорят, что множество целых чисел является подмножеством множества рациональных чисел. Точно так же, множество натуральных чисел является подмножеством множества целых чисел. Записывается это следующим образом:

N Ì Z Ì Q,

а знак «Ì» читается так: «содержится в», «является подмножеством» или «является частью». Заметим, что во множестве рациональных чисел «равноправия» еще больше, чем во множестве целых чисел: любые два рациональных числа можно не только вычитать друг из друга, но можно и делить одно на другое (кроме деления на нуль!); при этом в результате указанных действий всегда будут получаться снова рациональные числа. Таким образом, множество рациональных чисел замкнуто относительно всех четырех операций: сложения, вычитания, умножения и деления.

Все натуральные числа, за исключением единицы, подразделяются на простые и составные. Натуральное число называется составным, если оно представляет собой произведение двух натуральных чисел, не равных единице, например: 4 = 2-2, 39 = 3 • 13, 111 = 3 • 37. Если натуральное число нельзя представить в виде такого произведения, то оно называется простым, например: 2, 3, 5, 7, 11.

Простые числа играют в математике особую роль. В их жизни много загадочного, и математики, стремясь разгадать эти тайны, открыли (и продолжают открывать до сих пор!) интереснейшие свойства простых чисел, придумали оригинальные математические методы исследования, которые применяются не только в теории чисел, но и в других разделах математики.

Древнегреческий математик Эратосфен предложил способ получения простых чисел, который называется решетом Эратосфена. Представим себе ряд натуральных чисел:

Отметим (кружком) простое число 2 и затем вычеркнем все четные числа (или, как говорят, числа, кратные двум). Согласно определению, вычеркнутые числа не являются простыми, так как делятся на два и их можно записать в виде 2k. Затем отметим простое число 3 и вычеркнем все числа, кратные трем: 3, 6, 9, 12 и т.д. Эти числа не простые, а составные, так как их можно записать в виде 3k. Часть этих чисел, а именно четные, уже вычеркнута (на рис. 2 они зачеркнуты два раза). Следующее наименьшее незачеркнутое число — 5, оно простое. Выделим его, а затем вычеркнем все числа, кратные пяти: 10, 15, 20 и т.д. В результате останутся незачеркнутыми только простые числа.

Заметим, что осуществить описанную процедуру полностью практически невозможно, так как множество натуральных чисел бесконечно. Но мы можем, пользуясь решетом Эратосфена, найти «вручную» все простые числа, например, в первой тысяче натуральных чисел. Современные компьютеры позволили отодвинуть эту границу до 1020. Принципиально, возможности ЭВМ здесь не ограничены.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Найдите такое число х, что для любого числа а выполняется равенство ха = а.

2. Вспомните, что такое четные и нечетные числа. Назовите все четные простые числа.

3. Будет ли множество четных чисел замкнуто отно­сительно операций сложения, вычитания и умножения?

4. Назовите наименьшее натуральное число.

5. Сравните дроби:  и ;  и ;  и ;  и .

6. Вспомните, что такое среднее арифметическое двух, трех или нескольких чисел. Найдите среднее арифметическое следующих чисел:

а) 1 и 2; б) -3 и 5; в)  и ; г)  и 3; д) ,  и ; е) ,  и

7. Покажите, что следующие числа являются простыми:

Бесплатная лекция: "Авторская песня" также доступна.

2-3 + 1; 2-3-5 + 1; 2 • 3 • 5 • 7 + 1; 2 • 3 • 5 • 7 • 11 + 1.

Попробуйте предсказать общий результат.

ТИПОВОЕ ЗАДАНИЕ

1. Выполните следующие арифметические действия:

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5160
Авторов
на СтудИзбе
439
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее