Сопряжённые операторы
Напомним, что в евклидовом пространстве определено скалярное произведение векторов
Определение. Если существует такой оператор B, что для любых и из евклидова пространства E справедливо , то оператор B называется сопряженным оператором к оператору A и обозначается A*:
Теорема. Если A — линейный оператор в евклидовом пространстве E и A — его матрица в некотором ортонормированном базисе в E, то у оператора есть единственный сопряженный оператор, причем матрица сопряженного оператора в том же базисе — это матрица AT.
Теорема доказана на лекции.
Пример. Рассмотрим оператор Uj поворота пространства R2 на угол j относительно начала координат против часовой стрелки:
Т.е. оператор, сопряженный оператору поворота пространства R2 на угол j относительно начала координат против часовой стрелки — оператор поворота пространства R2 на угол - j относительно начала координат против часовой стрелки.
Матрицы операторов поворота на угол j и угол - j имеют, соответственно, вид:
Видно, что
Нетрудно доказать (на лекции доказано) следующие свойства сопряженного оператора:
- что сопряженный к линейному оператру — линейный оператор;
- характеристические многочлены операторов и
Рекомендуемые материалы
совпадают.
5.3.2. Самосопряженный оператор
Определение. Если линейный оператор A, действующий в евклидовом пространсте E, таков, что для любых и из E справедливо , то оператор A называется самосопряженным оператором.
Пример. Оператор P2 — оператор проектирования пространства R3 на подпространство R2 параллельно вектору : .
Как показано выше, матрица оператора P2 в естественном ортонормированном базисе
Имеет вид
Тогда
т.е. — оператор P2 — самосопряженный оператор.
Видно, что матрица P2 оператора P2 — симметричная матрица.
Нетрудно доказать следующие свойства самосопряженного оператора:
- сумма самосопряженных операторов — самосопряженный оператор;
- если оператор A самосопряженный оператор, то оператор — тоже самосопряженный оператор (— действительное число).
Вам также может быть полезна лекция "3 Тройной интеграл".
5.3.3. Собственные значения и собственные векторы самосопряженного оператора
Можно показать (на лекции не доказывается), что у самосопряженного оператора существует собственный ортонормированный базис.
Поскольку A=A*, то матрица самосопряженного оператора — симметричная матрица. Справедлива следующая теорема.
Теорема. Матрица самосопряженного оператора в собственном базисе имеет диагональную форму.
Ясно, что для того чтобы привести матрицу самосопряженного оператор к диагональному виду нужно найти собственные значения оператора и диагональную матрицу, на диагонали которой расположены собственные значения матрицы.
Если нужно записать выражение для приведения матрицы к этой диагональной форме, то нужно еще найти собственные векторы матрицы, записать матрицу C перехода к собственному базису (матрицу, столбцами которой являются координаты собственных векторов оператора), найти обратную к ней матрицу С-1 и тогда — равенство, связывающее диагональну форму матрицы оператора в собственном базисе с матрицей A оператора в заданном базисе.