Ортогональность векторов

Векторы x и y пространства со скалярным произведением L называются ортогональными, если (x,y)=0. В этом случае пишут .

Процесс ортогонализации Грама--Шмидта позволяет превратить линейно независимую систему векторов в ортонормированную. Вы уже встречались с ним в курсе линейной алгебры. Это обстоятельство позволяет нам сразу перейти к формальному изложению сути дела.

Теорема. Если -- счетная система линейно независимых векторов в линейном пространстве со скалярным произведением L, то новые последовательности

обладают следующими свойствами:

1) система ортонормирована, т. е. любые два ее вектора ортогональны и каждый вектор имеет единичную длину;

2) для любого линейная оболочка векторов совпадает с линейной оболочкой векторов .

Доказательство. Поскольку норма каждого из векторов z_n, очевидно, равна единице, то для доказательства первого утверждения достаточно убедиться, что (z_m,z_n)=0 при любых .Для этого достаточно проверить, что (y_m,z_n)=0 при любых n<m.

Так как (y₂,z₁)=(x₂-(x₂,z₁)z₁,z₁)=(x₂,z₁)-(x₂,z₁)(z₁,z₁)= (x₂,z₁)-(x₂,z₁)=0, то наше утверждение верно для n=1, m=2. Допустим, что оно верно для всех ,где k -- некоторое натуральное число. Убедимся, что оно верно и для всех n<k+1:

Рекомендуемые материалы

В силу метода математической индукции, первое утверждение теоремы доказано.

В лекции "31. Литература социалистического движения" также много полезной информации.

Приступая к доказательству второго утверждения теоремы, обозначим через ,линейную оболочку векторов .Поскольку каждый из векторов z₁, z₂, ,z_n является линейной комбинацией векторов ,то, очевидно, .Противоположное включение докажем с помощью индукции. Базой индукции будет очевидное включение .Чтобы сделать шаг индукции, допустим, что для некоторого k справедливо включение и убедимся, что оно же имеет место и для номера k+1. Для этого достаточно проверить, что .Но это непосредственно вытекает из следующей формулы, написанной с учетом предположения индукции:

Теорема доказана.

Для ненулевых векторов x и y евклидова пространства введем понятие угла, как такого числа из интервала ,для которого выполняется равенство

Ясно, что x и y ортогональны если и только если .