Конформные отображения

Конформные отображения

Опр. Отображение обладающие свойствами консерватизма углов и постоянства растяжений называется конформным.

Теорема. Если  аналитическая функция в области G  в G, то  задает конформное отображение области G.

Док-во:

;   ;

; ;

Рекомендуемые материалы

          - постоянство растяжений.

 - консерватизм углов.

 Доказано.

1. Линейная функция.

1) - параллельный перенос.

2)

При линейном преобразовании прямые переходят в прямые, окружность переходит в окружность.

2. Дробно-линейная функция.

, т.е. дробно-линейное преобразование сводится к линейному и функции .

Опр. Обобщенная окружность:

         , т.е. это окружность или прямая.

Теорема. Дробно-линейная функция отображает обобщенную окружность в обобщенную окружность.

Док-во:

          - обобщенная окружность.

Опр. Точки B и С  - сопряженные относительно окружности Г, если любая окружность , проходящая через эти точки, ортогональна Г.

Лемма. Если точки В и С явл. Сопряженными относительно окр-ти с центром О, А-точка пересечения Г и ., то .

Утв. Если  дробно – линейное отображение, то  переводит точки, сопряженные относительно окружности, в точки, сопряженные относительно ее образа.

            ;

            , т.е. сопряженными являются точки 0 и .

Примеры решения задач:

Задача 1.

Отобразить полуокружность в единичный круг.

Решение:

 и  сопряженные относительно Ох, т.е. действительная ось отображается в окружность.

;    

- искомое отображение.

Задача 2.

Отобразить отрезок в единичный круг.

Решение:

             - отобразить отрезок в ;

            ;

            ;

            ;

Задача 3.

Отобразить полосу в единичный круг.

Решение:

;

;

;

;

;

;

Функция Жуковского

;                                 

;

;

,

Ещё посмотрите лекцию "87 Криволинейные интегралы" по этой теме.

1)  - эллипс

2)

 - функция, обратная функции Жуковского.

Теорема Римана

Если G – односвязная область, граница которой состоит более чем из одной точки, то существует аналитическая функция, задающая конформное отображение G на единичный круг.